Question

求下列定积分的值

Answer 1

换元法
d(tanx)＝sec²x
因此原式
＝∫ cos²x/sin⁴x d(tanx)
将sin²x表示成tanx的表达式即可令t＝tanx完成换元，积分上下限也要计算代换，之后会变成一个分式积分。

追问

能再详细一点吗？

追答

＝∫ 1/[tan²xsin²x]d(tanx)
＝ ∫ (sin²x＋cos²x)/[tan²xsin²x]d(tanx)
＝ ∫ (tan²x＋1)/[tan⁴x]d(tanx)
＝ ∫ (t²＋1)/[t⁴]dt t＝0→tan(π/4-arctan1/4)

＝∫ 1/[tan²xsin²x]d(tanx)
＝ ∫ (sin²x＋cos²x)/[tan²xsin²x]d(tanx)
＝ ∫ (tan²x＋1)/[tan⁴x]d(tanx)
＝ ∫ (t²＋1)/[t⁴]dt t＝0→tan(π/4-arctan1/4)