何时函数的二阶混合偏导数会相等
1、对于任何二元函数，只要二阶可导，混导就一定相等。
也就是说，二阶混导的结果跟求导的顺序无关。
2、二阶混导相等的证明，有两种方法，
A、根据偏导数的定义证明；
B、运用导数中值定理证明。
分别证明如下，如果看不清楚，请点击放大：
1、对于任何二元函数，只要二阶可导，混导就一定相等。也就是说，二阶混导的结果跟求导的顺序无关。
2、二阶混导相等的证明，有两种方法：
A、根据偏导数的定义证明；
B、运用导数中值定理证明。
代数记法：
二阶导数记作：
即y''=（y）。
例如：y=x²的导数为y'=2x，二阶导数即y'=2x的导数为y''=2。
扩展资料：
二阶混合偏导数性质
（1）如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
（2）判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。
（3）函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，
（1）若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；
（2）若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
参考资料来源：百度百科--二阶导数
参考资料来源：百度百科--函数
一阶可微 <--> 二阶混合偏导相等，我认为是正确的，原因是：格林公式以及积分与路径无关的条件。
可能有点问题：关于这个 <--> 符号，我觉得可能未必是充要条件，毕竟多元函数里没有多少充要条件。
1、对于任何二元函数，只要二阶可导，混导就一定相等。
也就是说，二阶混导的结果跟求导的顺序无关。
2、二阶混导相等的证明，有两种方法，
A、根据偏导数的定义证明；
B、运用导数中值定理证明。
分别证明如下，如果看不清楚，请点击放大：
