Question

已知f(x)连续，是什么意思

原题为 已知f(x)连续,满足f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)=kx
如果能把原题证出来就更好啦

Answer 1

这是过程

Answer 2

证明，由于是连续的
f(x+dx)=f(x)+f(dx)
(f(x+dx)-f(x))=f(dx)
(f(x+dx)-f(x))/dx)=f(dx)/dx
当dx->0时有对任意x满足
f'(x)=f'(0)=k
f(x)=kx+b
f(x+y)=f(x)+f(y)
k(x+y)+b=k(x+y)+2b
b=0
f(x)=kx

Answer 3

图像中反应的是，无断点，即，在x有范围时，都有与之对应的值

Answer 4

当y=f(x)=kx时，f(x+y)=f(x+kx)=f[(1+k)x]=k[(1+k)x]=kx+k²x=f(x)+f(kx)=f(x)+f(y).

Answer 5

函数连续性的定义有很多种说法，在这里就不去细究了。简单地讲，就是一个函数如果在某个区间
内连续，则其在该区间内的图像是一条没有间隙的连续曲线。
证明：当y=f(x)=kx时，f(x+y)=f(x+kx)=f[(1+k)x]=k[(1+k)x]=kx+k²x=f(x)+f(kx)=f(x)+f(y).
即f(x)=kx时，必满足f(x+y)=f(x)+f(y);
至于满足f(x+y)=f(x)+f(y)是不是只有y=f(x)=kx这一种情况，恐怕就不一定了。