Question

非常急，求助学霸帮帮忙做一下这个题。设v是数域p上所有n阶对称矩阵，关于矩阵的加法与与数乘构成的线

非常急，求助学霸帮帮忙做一下这个题。设v是数域p上所有n阶对称矩阵，关于矩阵的加法与与数乘构成的线性空间。令V₁={A∈V∣tr(A)=0｝,V₂=｛λEn∣λ∈P｝.证明①：V₁,V₂都是V的子空间。②分别求出 V₁,V₂的一组基与维数。③V=V₁⊕V₂

Answer 1

1和3直接用定义证明（3先验证V=V1+V2，然后证明拆分方式的唯一性）

2是线性方程组的直接应用，显然En是V2的基，所以V2是一维空间
利用3可知V1是n(n+1)/2-1维空间，当然也可以用线性方程组理论，V1的约束方程只有一个，所以维数是n(n+1)/2-1
至于V1的基，对称矩阵由上三角元素唯一确定，所以取遍e_ie_j^T+e_je_i^T（i<j）可以得到V1里的对角元为0的子空间的基，这里e_i表示单位阵En的第i列，然后再取遍对角阵e_1e_1^T-e_ie_i^T（i>1）就行了，组合起来正好构成V1的基（这些就是通过解方程a11+a22+...+ann=0解出来的，当然完全可以给其他形式的解）