Question

一道看似简单的数学题让我很在意

一道看似简单的数学题让我很在意,因为我总结不出来计算的规律,归纳不出来公式(我是喜欢数学的,所以想算出来)
题目:大家都知道dota2里面的祈求者(即卡尔)他的技能总数是10个吧,因为他一共有3种属性(冰雷火),3种属性排到3个位置(但不能有重复)的总数就是技能的总数,如下
冰冰冰 雷雷雷 火火火
冰冰雷 冰冰火
雷雷冰 雷雷火
火火冰 火火雷
冰火雷
如上的排列,一共就是10个技能

最后我很纠结10这个数字是怎么算出来的(要归纳出工式)

最后要验证公式的正确性:假设祈求者的属性有4种(冰雷火风),排到4个位置会产生不同的技能,如下
冰冰冰冰 ...
冰冰冰风...
如果是上述这种情况,祈求者的技能会是有多少个?
(注:我排列计算了一下,似乎是35个,不知道正确不)

验证4个字母的情况
qqqq
eeee
rrrr
ffff
4次
qqqe
qqqr
qqqf
...
3x4=12次
qqer
qqef
qqrf
...
3x4=12次
qqee
qqrr
qqff
eerr
eeff
rrff
...
3+2+1=6次
qerf
1次
共4+12+12+6+1=35次

最后,求推导的公式
祈求者共10个技能,就是没重复的,我再列举一次:技能1:冰冰冰 即是 3冰技能2:雷雷雷 即是 3雷技能3:火火火 即是 3火技能4:冰冰雷 即是 2冰1雷技能5:冰冰火 即是 2冰1火技能6:雷雷冰 即是 2雷1冰技能7:雷雷火 即是 2雷1火技能8:火火冰 即是 2火1冰技能9:火火雷 即是 2火1雷技能10:冰火雷 即是 1冰1雷1火

下面是我自己的解出的公式,但是不是统一的公式,根据实际情况,公式是变化的

需要上面可以解出两种情况的答案分别是10和35,但此问仍未结束,有人解出更好的公式,照样给分

Answer 1

其实3个技能的排列总共有27种可能。3个空位，第一个空位有3种可能，第二个空位也有3种可能，第三个也有3种。所以总共有3×3×3=27种。而你说的不能重复我还没理解，因为你所列举的技能里就有重复的。
如果是4种的话，那就有4^3=64种了。

追问

10种是没重复的,你再看清楚我列举的.
而你说的27种是包含了重复的,如下:
"冰冰火"与"火冰冰"这样就叫做重复的,不能算在内,因为都是"2冰1火",你的27种里就包含了这种重复

另外我说的第2种情况用来验证是4种属性放到4个位置,按你的算法应该是 4^4 才对,但是,必需要排除重复的,如"3冰1火"里不管"火"是排到1到4的哪个位置,都只算同一种情况

追答

没错啊，我就是说你举的里面就有重复的啊，小弟弟。
没重复的那就只有6种了。

追问

你还没弄懂题目,这是道"排列组合题",我不是小弟弟,我已经本科毕业几年了

追答

那就好办了，3个一样的，就是3种
2个一样的，那就是先3个里面选一个，有3种选法。再2个里面选1个有2种选法。总共6种。
3个都不一样那就只有1种了。
总共就是10种。
是这个意思不？
就是C(3，1)+C(3，1)C(2，1)+C(3，3)
推广到n个属性，n大于等于3。由n个属性组成技能。
这个就有点复杂，需要点时间。

Answer 2

如果你学过排列组合，那么公式应该是：

追问

公式似乎是对的,但是,现在的参数是有2个:n种属性里面 取m个属性(即m个位置)
另外,能给出解题过程吗?

Answer 3

追问

你的公式非常正确,这里先佩服一下,能不能解释一下推导过程呢?

终于想明白了,m-1是相当于4个位置中间的"分隔线"数目
C(m-1)意思就是m-1个"分隔线"里面取x个"分隔线"的方法,而"分隔线"的数目可以是:0,1...m-1 共m种可能性

然后"分隔线"确定之后,C(n)的意思就是把n个属性放到"分隔"完的部分里.
到这里,解题非常完整和正确,分数是你的了

Answer 4

重复数量与元素状况有关这这这。好难帮顶