Question

齐次方程组有非零解？

Answer 1

齐次方程组有非零解。

齐次线性方程组指的是常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

零解：在微分方程理论中，指x(t)=0的解。讨论微分方程解得稳定性问题时，通常研究零解的稳定性。

非零解：在微分方程理论中，指x(t)≠0齐次线性方程组有非零解的条件。

定理：一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。

性质

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）