Question

高中数列题，在线等！！！

已知函数f(x)=log3(ax+b)的图像经过点A(2,1)和B(5,2),记an=3的f(n)次方,n属于N*,

(1)问已求出：an=2n-1

（2）设bn=an/（2的n次幂）,Tn=b1+b2+b3+.....+bn,若Tn<m（m为整数）求m的最小值.

Answer 1

第2问是等差乘等比形式的数列求和，使用错位相减法求出Tn，求出Tn的最值即可知m。

an=2n-1，bn=an/2^n=(2n-1)/2^n

Tn=∑bn=1/2^1+3/2^2+5/2^3+……+(2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2^n    ①

2Tn=1+3/2^1+5/2^2+……+(2n-1)/2^(n-1)    ②

Tn=2Tn-Tn=②-①=1+2/2^1+2/2^2+2/2^3+……+2/2^(n-1)-(2n-1)/2^n(2个式子分母相同的项相减)

=1+1/2^0+1/2^1+1/2^2+……+1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n=1+[1/2^0+1/2^1+1/2^2+……+1/2^(n-2)]-(2n-1)/2^n(对中括号内的等比数列求和)

=1+[1-1/2^(n-2)]/(1-1/2)-(2n-1)/2^n

=1+2-1/2^(n-3)-(2n-1)/2^n=3-8/2^n-(2n-1)/2^n=3-(2n+7)/2^n

Tn=3-(2n+7)/2^n在n∈N*时是递增的，且其极限为3.

因为式子中被减去的项(2n+7)/2^n是趋近于0且不为0的正数，∴Tn＜3(你们没学极限的计算，只能先这样解释，或者看图也可以)。

要使Tn<m，只需Tn＜3≤m，即m的最小值是3.

Answer 2

Tn=1/2 + 3/(2^2) + 5/(2^3)+ 7/(2^4) +....+(2n-1)/(2^n) ............(1)
(1/2)Tn=1/(2^2) + 3/(2^3) + 5/(2^4)+ 7/(2^5) +....+(2n-1)/[2^(n+1) ] ............(2)
(1) - (2):
(1/2)Tn=1/2+2/(2^2) + 2/(2^3) +2/(2^4)+.......+2/(2^n) - (2n-1)/[2^(n+1)]
=1/2 + 1/2 + 1/2^2 +1/2^3 +.......+1/(2^n) - (2n-1)/[2^(n+1)]
接下去你应该会做的

Answer 3

如下