Question

一道高中文科数学题

已知数列｛an｝，其前n项和Sn满足S（n+1)=2µSn +1 ，（µ是大于0的常数）。切a1=1，a3=4，
（1）求µ的值
（2）求数列｛an｝的通项公式
（3）设数列｛n×an｝的前n项和为Tn，试比较(Tn)/2与Sn的大小

Answer 1

（1）当n=1时，S2=2µ*S1+1=2µ*a1+1，S2= 2µ+1
当n=2时，S3=2µ*S2+1，则S2+a3=2µ*S2+1
2µ+1+4=2µ*（2µ+1）+1
解得µ=1（µ=-1舍去）
（2）
S(n+1)=2Sn +1
∴S(n+1)+1=2(Sn +1)
∴数列｛Sn +1｝是首项为S1+1=2，公比为2的等比数列
∴Sn +1=2*2^(n-1)=2^n
∴Sn=(2^n)-1
∴an=Sn-S(n-1)
=(2^n)-1-2^(n-1)+1
=2^(n-1)
数列｛an｝的通项公式2^(n-1)
(3)n×an=n2^(n-1)
Tn=2Tn-Tn=(1*2+2*2²+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n)-(1*1+2*2+3*2²+…+n*2^(n-1))
=-(1+2+2²+…+2^(n-1))+n*2^n
=1-2^n+n*2^n
∴Tn/2=1/2+(n-1)*2^(n-1)
∴Tn/2-Sn=1/2+(n-1)*2^(n-1)-(2^n)+1
=[3+(n-3)*2^n]/2
∴当n=1或2时，Tn/2-Sn=-1/2＜0
当n=3时，Tn/2-Sn=3/2＞0
因为当n≥4时，Tn/2-Sn是增数列。所以Tn/2-Sn＞T3/2-S3＞0
综上
当n=1或2时，(Tn)/2<Sn
当n≥3时，(Tn)/2＞Sn

Answer 2

（1）当n=1时，a1=S1，则S2=2µ*a1+1，S2=2µ+1 (1)
当n=2时，S3=2µ*S2+1，则S2+4=2µ*S2+1 (2)
将 (1)带入(2) 得µ=1

Answer 3

解:(1)由题意，S2=2µS1+1①
S3=2µS2+1 ②
由①得a2=2µa1+1-a1
①-② 得a3=2µa2
=2µ(2µa1+1-a1)
=4µ^2=4
µ=1或µ=-1（舍去）
（2）当n≥2时
S(n+1)=2Sn+1①
Sn=2S(n-1)+1②
①-② 得S(n+1)-Sn=2[Sn-S(n-1)]
即a（n+1)=2an
当n=1时也成立
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列
an=2^(n-1)
(3)用错位相减法得Tn-2Tn=1*1+{2*[1-2^(n-1)]}/(1-2)-n*2^n=2^n-1-n*2^n
所以Tn/2=(n-1)*2^(n-1)+1/2
Sn=2^(n+1)-2
当n≤4时Sn＞Tn/2
当n ＞4时Tn/2＞Sn

Answer 4

很高兴为你解答问题！
这道题可以这样计算：
首先，因为已经知道了a1=1，a3=4。设一个a2的值就可以带入等式S（n+1)=2µSn +1 中计算，把S1=1,S2=1+a2,S3=5+a2 都带进去就可以得到两个方程，联立可以解µ的值为1.
然后就是把刚刚解出的值带入关于S的等式中，发现这个等式可以推导出S（n+1）-S（n）是一个等比数列，这样把关于S的等比数列求出来，再带入a的数列中就可以求出a的通项公式了。