Question

数学题：级数，证明 (k^2 + 1)^(1/3) / (k^3 + 2)^(1/2) > k^(2/3) / k^(3/2), k >= 1

请写出过程：

Answer 1

那个不等式并不是对所有正整数 k 都成立。
事实上 k = 1 时，左边的 6 次方 = 4/27 ，右边的 6 次方 = 1 ，因此不成立；
再如 k = 2 时，左边的 6 次方 = 25/1000 = 1/40 ，右边的 6 次方 = 1/32 ，也不成立 。

其实，两边 6 次方后再去分母，待证不等式可化为 2k^7 + k^5 > 6k^6+12k^3+8 ，
可以证明，当 k ≥ 4 时上式成立，因此原不等式成立，

这是由于 2k^7 + k^5 = 2k*k^6 + k^2*k^3 ≥ 8k^6+16k^3 > 6k^6+12k^3+8 。