Question

求教一道高二数学题

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点F，其右准线与X轴交点为，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，求椭圆离心率取值范围。

Answer 1

设P(acosθ,bsinθ)
在椭圆上存在一点P 满足线段AP的垂直平分线过F，则
PF=AF=a^2/c-c
PF=根号((acosθ-c)^2+(bsinθ)^2)
e=a/c
a^2=b^2+c^2
联合解得
cosθ=(e^2+e-1)/e^2
而－1≤cosθ≤1
所以1/2≤e≤1
因a>b>0
所以1/2≤e<1

Answer 2

解：
由已知|PF|=|AF|=a^/c -c=b^2/c
令P(x0,y0)
则-a≤x0≤a ...①
过P作PH垂直右准线于H
那么|PH|=a^2/c - x0
根据椭圆离心率定义
e=|PF|/|PH| =(b^2/c)/(a^2/c - x0)
整理得：a(ac-b^2)/c^2 =x0
由①知-a≤a(ac-b^2)/c^2≤a ,且a^2=b^2+c^2(a>0)
解得e∈[1/2 ,1)