Question

已知首项都是1的两个数列{an},{bn}且bn≠0，n∈N,满足an·b(n+1)-a(n+1)

已知首项都是1的两个数列{an},{bn}且bn≠0，n∈N,满足an·b(n+1)-a(n+1)·bn+2b(n+1)·bn=0
(1)令Cn=an/bn,求数列{Cn}的通项公式；
(2)若bn=3^(n-1),求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

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Answer 2

an·b(n+1)-a(n+1)·bn+2b(n+1)·bn=0

等式两边同除以b(n+1)·bn得
an/bn-a(n+1)/b(n+1)+2=0
[a(n+1)/b(n+1)]-[an/bn]=2
{an/bn}是等差数列
Cn=an/bn
Cn=an/bn＝(a1/b1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1
Cn=2n-1
2)bn=3^(n-1)

Cn=an/bn=2n-1
an=(2n-1)*bn
an=(2n-1)*3^(n-1)
Sn=1+3*3+5*3^2+...+(n-1)*3^(n-2)+(2n-1)*3^(n-1)
3Sn=3+3*3^2+5*3^3+...+(n-1)*3^(n-1)+(2n-1)*3^n
两式相减得
－2Sn=1+2(3+3^2+...+3^n)-(2n-1)*3^n
－2Sn=1+2*[3(1-3^(n-1)/(1-3)]-(2n-1)*3^n
－2Sn=1-3[1-3^(n-1)]-(2n-1)*3^n=-2-2(n-1)*3^n
Sn=1+(n-1)*3^n

Answer 3

(1)
an·b(n+1)-a(n+1)·bn+2b(n+1)·bn=0
等式两边同除以b(n+1)bn
an/bn -a(n+1)/b(n+1) +2=0
a(n+1)/b(n+1)-an/bn=2，为定值
a1/b1=1/1=1
数列{an/bn}是以1为首项，2为公差的等差数列
cn=an/bn，数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列
cn=1+2(n-1)=2n-1
数列{cn}的通项公式为cn=2n-1
(2)
bn=3^(n-1)
an=cn·bn=(2n-1)·3^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an=1·1+3·3+5·3²+...+(2n-1)·3^(n-1)
3Sn=1·3+3·3²+...+(2n-3)·3^(n-1)+(2n-1)·3ⁿ
Sn-3Sn=-2Sn=1+2·3+2·3²+...+2·3^(n-1)-(2n-1)·3ⁿ
=2·[1+3+...+3^(n-1)] -(2n-1)·3ⁿ -1
=2·(3ⁿ-1)/(3-1) -(2n-1)·3ⁿ -1
=(2-2n)·3ⁿ-2
Sn=(n-1)·3ⁿ+1

Answer 4

1.由题意可得b1=a2-a1=2-1=1
因为b[n+1]=3bn

所以bn是以b1=1为首项
3为公比的等比数列
所以bn=3^(n-1)