Question

已知：△ABC的三边a,b,c.且满足3（a2+b2+c2）=(a+b+c)2，求证：此三角形为等边三角形

Answer 1

(a+b+c)²=3(a²+b²+c²)
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=3a²+3b²+3c²
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则至少有一个小于0，不成立
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c，c=a
所以a=b=c
所以是等边三角形

Answer 2

上面等式可以变形为（a-b）^2 +(b-c)^2+(a-c)^2=0
所以a=b=c

Answer 3

（a-b）^2 +(b-c)^2+(a-c)^2=0
a=b=c