Question

数学有关圆的几何题

在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE⊥BC，以AE为直径作圆，圆心为O，连接CO、DO，如果该圆的半径AO恰好是CE与AD的比例中项
（1）求证：CO⊥DO
（2）判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的判断

Answer 1

（1）
设EC长度为a
由于圆的半径AO恰好是CE与AD的比例中项，则EO=AO=2a，AD=4a
又平行四边形中，EO⊥EC，AO⊥AD，且EC：EO=AO：AD，∴△CEO∽△OAD，
∴角AOD与角EOC互余，∴角DOC=90°，∴CO⊥DO

（2）
CD与圆O相割
原因：可知圆心O到CD的距离小于半径：
设CD中点为P，连结OP。 又∵AO=OE，∴OP‖EC‖AD，梯形ECPO∽梯形ECDA，相似比为2
因为圆O半径AO恰好是CE与AD的比例中项，且EO=AO=2a，AD=4a，∴OP=2a
又∵AE与CD不平行，∴CD与圆O相割，两个割点在CP之间

Answer 2

解：由题意可知，AD，EC都是圆O的切线，又因为AE是圆O 的直径,所以AE垂直AD，EC
若AO是CE、AD的比例中项那么AO^2=CE*AD
又因为AO=EO
所以AO*EO=CE*AD即AO/EC=AD/EO 又因为角DAO=角OEC 所以三角形DAO相似于三角形OEC
所以角ADO=角EOC 角AOD=角ECO
因为角DAO=90 所以角ADO+角AOD=90即角AOD+角EOC=90 所以角DOC=180-90=90
即CO垂直DO
相切关系
由上面所知三角形EDO相似于三角形EOC且角DAO=角DOC
由相似得：AO/EC=AD/OE=D0/OC即AD/DO=OE/OC=AO/OC 又因为角DAO=角DOC
所以三角形ADO相似于三角形ODC 所以角ADO=角ODC即OD是角ADC的平分线
过点O做DC的垂线交CD于点F，由角平分线定理得:AO=OF
由原点到直线的距离等于圆的半径的直线与圆相切的定理得：DC与圆相切

Answer 3

圆的半径AO恰好是CE与AD的比例中项
则三角形OAE与三角形OEC相似
角EOC=90
CO⊥DO
CD与圆O相切
过O作CD垂直线OF
OF=OA

Answer 4

延长CE交AB于点G，延长BF交AC的延长线于点H，易知CE=EG，BF=FH，AC=AG，AB=AH，
∴OE=0.5BG=0.5CH=OF，OE∥AB，连ED，CI，证CDEI共圆，再证∠OED=∠ODE，得OE=OD=OF，命题得证。
由于时间关系，我只能提示这么多，实在想不到的话，请加591681570，到时我再详细解释