Question

如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD,BC=BE,F、G、H分别是DC、CE、AB的中点。求证∠FHG=∠DAC

说说思路。，，为什么要画辅助线。。我总是不知道该什么时候画辅助线。跪求啊。。在线等啊
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Answer 1

连接AF、BG。
F是DC的中点，所以AF垂直于CD，所以角AFB=90°。
同理，角AGB=90°。
又H是AB的中点，所以△AFB中FH是中线，所以FH=1/2AB，GH=1/2AB。
等腰△ADC中，AF为角DAC的角平分线，角FAC=1/2角DAC。
又HF=HA，所以角FHA=180°-2*（角HAF）
=180°-2*（角FAC+角GAH）
=180°-角DAC-2*角GAH。
因为HA=HG，所以角HAG=角HGA，所以角GHB=角HAG+角HGA=2*角GAH。
所以，角FHG=180°-角FHA-角GHB
=180°-（180°-角DAC-2*角GAH）-（2*角GAH）
=角DAC

总结：有中点时，若在一个三角形内可以考虑连接，构造中线。或者有多个中点在一个三角形内时可以考虑连接构造中位线就有平行于1/2的关系。

Answer 2

（2007•宿迁）如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．
求证：（1）HF=HG；（2）∠FHG=∠DAC．证明：（1）连接AF，BG，
∵AC=AD，BC=BE，F、G分别是DC、CE的中点，
∴AF⊥BD，BG⊥AE．
在直角三角形AFB中，
∵H是斜边AB中点，
∴FH=12AB．
同理得HG=12AB，
∴FH=HG．
（2）∵FH=BH，
∴∠HFB=∠FBH；
∵∠AHF是△BHF的外角，
∴∠AHF=∠HFB+∠FBH=2∠BFH；
同理∠AGH=∠GAH，∠BHG=∠AGH+∠GAH=2∠AGH，
∴∠ADB=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．
又∵∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD
=180°-2∠ADB
=180°-2（∠BFH+∠AGH）
=180°-2∠BFH-2∠AGH
=180°-∠AHF-∠BHG，
而根据平角的定义可得：∠FHG=180°-∠AHF-∠BHG，
∴∠FHG=∠DAC．

Answer 3

：（1）连接AF，BG，
∵AC=AD，BC=BE，F、G分别是DC、CE的中点，
∴AF⊥BD，BG⊥AE．
在直角三角形AFB中，
∵H是斜边AB中点，
∴FH=12AB．
同理得HG=12AB，
∴FH=HG．

（2）∵FH=BH，
∴∠HFB=∠FBH；
∵∠AHF是△BHF的外角，
∴∠AHF=∠HFB+∠FBH=2∠BFH；
同理∠AGH=∠GAH，∠BHG=∠AGH+∠GAH=2∠AGH，
∴∠ADB=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．
又∵∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD
=180°-2∠ADB
=180°-2（∠BFH+∠AGH）
=180°-2∠BFH-2∠AGH
=180°-∠AHF-∠BHG，
而根据平角的定义可得：∠FHG=180°-∠AHF-∠BHG，
∴∠FHG=∠DAC．

Answer 4

∵FH=BH∴∠HFB=∠FBH；
∵∠AHF是△BHF的外角，
∴∠AHF=∠HFB+∠FBH=2∠BFH； 同理∠AGH=∠GAH，∠BHG=∠AGH+∠GAH=2∠AGH， ∴∠ADB=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．
又∵∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD， =180°-2∠ADB， =180°-2（∠BFH+∠AGH）