Question

如图,已知△ABC为圆O的内接三角形,I为内心.若外接圆半径为R,内切圆半径r,求证AI·ID=2Rr

Answer 1

如图： 证（1）
∵I是△ABC的内心,
∴∠1=∠2,弧BD=弧CD,BD=CD
同理∠3=∠4,
∵∠1=∠5
∴∠2=∠5
∴∠6=∠2+∠3=∠4+∠5
∴BD=ID
∴BD=CD=ID

如图：证（2）
在△AEB和△DEC中,
∵∠2=∠7,∠AEB=∠DEC,
∴△AEB∽△DEC
∴AB/CD=BE/DE
∵∠2=∠5 (已证)
BD=CD (已证)
∴AB/BD=BE/DE
∴△AEB∽△BED
∴∠AEB=∠BED=90度
∴∠ABD=∠3+∠4+∠5=∠3+∠4+∠2=90度
∴AD是直径,AD=2R,
作点I到AB的距离IF,垂足F
则 IF=IE=r,∠AFI=90度
∵∠2=∠2,∠AFI=∠ABD=90度,
∴△AFI∽△ABD
∴IF/BD= AI/ AD,
∵BD= DI (已证)
∴r/ DI= AI/2R
即AI·ID=2Rr

追问

朋友，AD不等于2R，请不要抄袭