Question

问一道高中数学数列题！

这一整题如何求解？

Answer 1

(1)
(a2-3a1)(3a2-a1)=3
a1=1代入，整理，得a2(3a2-10)=0
数列是递增数列，a2>a1=1，a2=10/3
[a(n+1)-3an][3a(n+1)-an]=3
3a(n+1)²-10an·a(n+1)+3an²=3a(n+2)²-10a(n+1)·a(n+2)+3a(n+1)²
3a(n+2)²-3an²=10a(n+1)[a(n+2)-an]
3[a(n+2)+an][a(n+2)-an]=10a(n+1)[a(n+2)-an]
数列是递增数列，a(n+2)>an，等式两边同除以a(n+2)-an
3a(n+2)+3an=10a(n+1)
3a(n+2)-9a(n+1)=a(n+1)-3an
[a(n+2)-3a(n+1)]/[a(n+1)-3an]=1/3，为定值
a2-3a1=10/3 -3=1/3
数列{a(n+1)-3an}是以1/3为首项，1/3为公比的等比数列
a(n+1)-3an=1/3ⁿ
a(n+1) +(1/8)/3ⁿ=3an+(3/8)/3ⁿ⁻¹=3[an+(1/8)/3ⁿ⁻¹]
[a(n+1)+(1/8)/3ⁿ]/[an+(1/8)/3ⁿ⁻¹]=3，为定值
a1+(1/8)/3⁰=1+1/8=9/8
数列{an+(1/8)/3ⁿ⁻¹}是以9/8为首项，3为公比的等比数列
an+(1/8)/3ⁿ⁻¹=(9/8)·3ⁿ⁻¹=(1/8)·3ⁿ⁺¹
an=(3ⁿ⁺¹- 1/3ⁿ⁻¹)/8=(3ⁿ⁺¹- 3¹⁻ⁿ)/8
数列{an}的通项公式为an=(3ⁿ⁺¹- 3¹⁻ⁿ)/8
Sn=a1+a2+...+an
=(1/8)·9·(3ⁿ-1)/(3-1) +(1/8)·1·(1-1/3ⁿ)/(1-1/3)
=(3ⁿ⁺²-3¹⁻ⁿ-6)/16

感觉题目好难啊。不过通项公式{an}、前n项和Sn都求出来了。后面不等式应该比较容易了。注意右边<3/2，用放缩法，转化为等比数列求和就可以了。太多了，不写了。

Answer 2

将递推式展开并按a[n+1]整理可以解得a[n+1]=√(1+16a[n]^2/9)+5a[n]/3。
由数学归纳法可以证明a[n]=(3/8)(3^n-(1/3)^n)，
因此S[n]=(3/8)(3(3^n-1)/2-(1-1/3^n)/2)=(3/16)(3^(n+1)+1/3^n-4)。
由柯西不等式立得(1/a[1]+...+1/a[n])(a[1]+...+a[n])>=n^2，因此不等式左边成立。
又注意到当n>=2时
a[n+1]>(5/2)a[n]（通过简单的代数化简很容易证明）
因此
1/a[1]+...+1/a[n]<1+1/a[2]+(2/5)(1/a[2])+...+(2/5)^(n-2)(1/a[2])<1+5/(3a[2])=3/2。

Answer 3

你家那附近有精锐吗？