在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,AC的中点,求证:MN⊥C1D
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由题意作图：A1B1中点M1,连接MM1；N在底面的投影点N1,N1即为底面对角线交点，连接NN1,NM1；且设正方体棱长为a。
①三角形NN1M1为直角三角形，故NM1=√NN1^2+M1N1^2=√5a/2
②三角形ANM为直角三角形，故MN=√AN^2+AM^2=√3a/2
③MM1=√2a/2
由①②③可得三角形MNM1的三条边的长度。因为NM1^2=MN^2+MM1^2故可以推断此三角形为直角三角形，且MN⊥MM1。（①②③中省略了部分简单的计算）
又因为MM1分别为AA1,A1B1的中点，故平行于B1A，所以也平行于C1D。
MN⊥MM1即可证得MN⊥C1D
①三角形NN1M1为直角三角形，故NM1=√NN1^2+M1N1^2=√5a/2
②三角形ANM为直角三角形，故MN=√AN^2+AM^2=√3a/2
③MM1=√2a/2
由①②③可得三角形MNM1的三条边的长度。因为NM1^2=MN^2+MM1^2故可以推断此三角形为直角三角形，且MN⊥MM1。（①②③中省略了部分简单的计算）
又因为MM1分别为AA1,A1B1的中点，故平行于B1A，所以也平行于C1D。
MN⊥MM1即可证得MN⊥C1D
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GamryRaman
2023-06-12 广告
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