Question

高等数学，第三道选择题，求解释谢谢

Answer 1

设f(x)=x^5+2ax^3+3bx+4c.这是一个5次多项式，至少有一个实根。
令f'(x)=5x^4+6ax^2+3b=0，则x^2=(1/5）[-3a+-√(9a^2-15b)]
因为有条件3a^2<5b,即根式里的9a^2-15b<0,于是x^2只能是复数，有复数的幅角定理，复数的平方根也是复数。所以，f'(x)没有实根。如果f(x)有两个实根，由罗尔中值定理，f'(x)必有实根。于是，f(x)=0有且只有一个实根。所以选C“有唯一实根”。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

3.
令f(x)=x⁵+2ax³+3bx+4c
f'(x)=5x⁴+6ax²+3b
=5(x²+ 3a/5)²+3b -9a²/5
=5(x²+ 3a/5)²+3(5b-3a²)/5
3a²<5b，5b-3a²>0，3(5b-3a²)/5>0
平方项恒非负，(x²+3a/5)²≥0，5(x²+3a/5)²≥0
5(x²+3a/5)²+3(5b-3a²)/5>0
f'(x)>0，函数f(x)单调递增，至多有一个零点，方程x⁵+2ax³+3bx+4c=0至多有一个实根。
(以上步骤，排除掉A、D两个选项)
x⁵+2ax³+3bx+4c=x⁵(1+2a/x²+3b/x⁴+4c/x⁵)
x→∞时，2a/x²→0，3b/x⁴→0，4c/x⁵→0
x⁵+2ax³+3bx+4c→x⁵
x→-∞时，x⁵+2ax³+3bx+4c→-∞；x→+∞时，x⁵+2ax³+3bx+4c→+∞
又f(x)单调递增，有且只有一个零点。方程x⁵+2ax³+3bx+4c=0有且只有一个实根。
(以上步骤，排除掉B选项)
选C。

Answer 4

令f=方程左边表达式。当x趋向正负无穷时，f(x)分别趋向正负无穷，说明当然x绝对值很大时，f(x)在左右异号。这样f(x)=0至少有一个实根。f’(x)=5x𠆢4＋6ax𠆢2＋3b 其为x平方的二次三项式，判别式=(6a)平方-4·5·3b=12·(3a平方－5b)＜0 所以f’(x)恒正,f(x)单调增，f(x)=0仅仅可能有一个根。选C