高等数学,第三道选择题,求解释谢谢
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3.
令f(x)=x⁵+2ax³+3bx+4c
f'(x)=5x⁴+6ax²+3b
=5(x²+ 3a/5)²+3b -9a²/5
=5(x²+ 3a/5)²+3(5b-3a²)/5
3a²<5b,5b-3a²>0,3(5b-3a²)/5>0
平方项恒非负,(x²+3a/5)²≥0,5(x²+3a/5)²≥0
5(x²+3a/5)²+3(5b-3a²)/5>0
f'(x)>0,函数f(x)单调递增,至多有一个零点,方程x⁵+2ax³+3bx+4c=0至多有一个实根。
(以上步骤,排除掉A、D两个选项)
x⁵+2ax³+3bx+4c=x⁵(1+2a/x²+3b/x⁴+4c/x⁵)
x→∞时,2a/x²→0,3b/x⁴→0,4c/x⁵→0
x⁵+2ax³+3bx+4c→x⁵
x→-∞时,x⁵+2ax³+3bx+4c→-∞;x→+∞时,x⁵+2ax³+3bx+4c→+∞
又f(x)单调递增,有且只有一个零点。方程x⁵+2ax³+3bx+4c=0有且只有一个实根。
(以上步骤,排除掉B选项)
选C。
令f(x)=x⁵+2ax³+3bx+4c
f'(x)=5x⁴+6ax²+3b
=5(x²+ 3a/5)²+3b -9a²/5
=5(x²+ 3a/5)²+3(5b-3a²)/5
3a²<5b,5b-3a²>0,3(5b-3a²)/5>0
平方项恒非负,(x²+3a/5)²≥0,5(x²+3a/5)²≥0
5(x²+3a/5)²+3(5b-3a²)/5>0
f'(x)>0,函数f(x)单调递增,至多有一个零点,方程x⁵+2ax³+3bx+4c=0至多有一个实根。
(以上步骤,排除掉A、D两个选项)
x⁵+2ax³+3bx+4c=x⁵(1+2a/x²+3b/x⁴+4c/x⁵)
x→∞时,2a/x²→0,3b/x⁴→0,4c/x⁵→0
x⁵+2ax³+3bx+4c→x⁵
x→-∞时,x⁵+2ax³+3bx+4c→-∞;x→+∞时,x⁵+2ax³+3bx+4c→+∞
又f(x)单调递增,有且只有一个零点。方程x⁵+2ax³+3bx+4c=0有且只有一个实根。
(以上步骤,排除掉B选项)
选C。
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令f=方程左边表达式。当x趋向正负无穷时,f(x)分别趋向正负无穷,说明当然x绝对值很大时,f(x)在左右异号。这样f(x)=0至少有一个实根。f’(x)=5x𠆢4+6ax𠆢2+3b 其为x平方的二次三项式,判别式=(6a)平方-4·5·3b=12·(3a平方-5b)<0 所以f’(x)恒正,f(x)单调增,f(x)=0仅仅可能有一个根。选C
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