高等数学,第三道选择题,求解释谢谢

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lwa1232011
2016-01-05 · TA获得超过2365个赞
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设f(x)=x^5+2ax^3+3bx+4c.这是一个5次多项式,至少有一个实根。
令f'(x)=5x^4+6ax^2+3b=0,则x^2=(1/5)[-3a+-√(9a^2-15b)]
因为有条件3a^2<5b,即根式里的9a^2-15b<0,于是x^2只能是复数,有复数的幅角定理,复数的平方根也是复数。所以,f'(x)没有实根。如果f(x)有两个实根,由罗尔中值定理,f'(x)必有实根。于是,f(x)=0有且只有一个实根。所以选C“有唯一实根”。
茹翊神谕者

2021-09-24 · 奇文共欣赏,疑义相与析。
茹翊神谕者
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简单计算一下即可,答案如图所示

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xuzhouliuying
高粉答主

2016-01-05 · 繁杂信息太多,你要学会辨别
知道顶级答主
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3.
令f(x)=x⁵+2ax³+3bx+4c
f'(x)=5x⁴+6ax²+3b
=5(x²+ 3a/5)²+3b -9a²/5
=5(x²+ 3a/5)²+3(5b-3a²)/5
3a²<5b,5b-3a²>0,3(5b-3a²)/5>0
平方项恒非负,(x²+3a/5)²≥0,5(x²+3a/5)²≥0
5(x²+3a/5)²+3(5b-3a²)/5>0
f'(x)>0,函数f(x)单调递增,至多有一个零点,方程x⁵+2ax³+3bx+4c=0至多有一个实根。
(以上步骤,排除掉A、D两个选项)
x⁵+2ax³+3bx+4c=x⁵(1+2a/x²+3b/x⁴+4c/x⁵)
x→∞时,2a/x²→0,3b/x⁴→0,4c/x⁵→0
x⁵+2ax³+3bx+4c→x⁵
x→-∞时,x⁵+2ax³+3bx+4c→-∞;x→+∞时,x⁵+2ax³+3bx+4c→+∞
又f(x)单调递增,有且只有一个零点。方程x⁵+2ax³+3bx+4c=0有且只有一个实根。
(以上步骤,排除掉B选项)
选C。
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上海皮皮龟
2016-01-05 · TA获得超过8364个赞
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令f=方程左边表达式。当x趋向正负无穷时,f(x)分别趋向正负无穷,说明当然x绝对值很大时,f(x)在左右异号。这样f(x)=0至少有一个实根。f’(x)=5x𠆢4+6ax𠆢2+3b 其为x平方的二次三项式,判别式=(6a)平方-4·5·3b=12·(3a平方-5b)<0 所以f’(x)恒正,f(x)单调增,f(x)=0仅仅可能有一个根。选C
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