Question

解析几何！！

已知二次曲线Ck的方程：x^2/(9-k)+y^2/(4-k)=1
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
（3）m、n为正整数，且m<n,是否存在两条曲线Cm，Cn，其交点P与点F1（-√5，0），F2（√5，0），满足向量PF1*向量PF2=0?若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1)、椭圆：9-k＞0,4-k＞0，故：k＜4

双曲线：9-k＞0,4-k＜0，故：4＜k＜9

(2)、将y=x+1代入双曲线方程x²/(9-k)-y²/(k-4)=1，得：x²/(9-k)-(x+1)²/(k-4)=1

经整理：(2k-13)x²+2(k-9)x+k²-12k+27=0

Δ=(k-9)²-(2k-13)(k²-12k+27)≥0

经化简，得：(k-4)(k-6)(k-9)≤0

又：4＜k＜9，所以：k-6≥0

故：6≤k＜9

因a²=9-k，故：k=6时，a最大。

此时双曲线为：x²/3-y²/2=1

(3)、首先此两条曲线不能同时为椭圆，或者同时为双曲线，否则没有公共点。

因此，若二者有公共点，那么必然一条为椭圆，另一条为双曲线。

设椭圆方程Cm：x²/(9-m)+y²/(4-m)=1，(m＜4)

双曲线方程Cn：x²/(9-n)-y²/(n-4)=1，(4＜n＜9)

交点P在椭圆Cm上，设P点坐标为：(√(9-m)cosθ，√(4-m)sinθ)

那么：
向量PF1：(-√5-√(9-m)cosθ，-√(4-m)sinθ)

向量PF2：(√5-√(9-m)cosθ，-√(4-m)sinθ)

故：PF1·PF2=(9-m)cos²θ-5+(4-m)sin²θ=0

解得：cos²θ=(m+1)/5，所以：sin²θ=(4-m)/5

那么P点坐标为：(±√[(9-m)(m+1)/5]，±(4-m)/√5)……①

交点P又在双曲线Cn上，设P点坐标为：(√(9-n)secα，√(n-4)tanθ)

那么：
向量PF1：(-√5-√(9-n)secα，-√(n-4)tanα)

向量PF2：(√5-√(9-n)secα，-√(n-4)tanα)

故：PF1·PF2=(9-n)sec²α-5+(n-4)tan²α=0

解得：sec²α=(n+1)/5，所以：tan²α=(n-4)/5

那么P点坐标为：(±√[(9-n)(n+1)/5]，±(n-4)/√5)……②

因为P是椭圆和双曲线的公共点，那么坐标①和②应该是同一个坐标，所以有：

√[(9-m)(m+1)/5]=√[(9-n)(n+1)/5]以及：(4-m)/√5=(n-4)/√5

可以算出：m=8-n

因4＜n＜9，所以当m、n为正整数时，共有3种情况：

m=3，n=5；m=2，n=6；m=1，n=7

可是我自己拿笔算的啊，真累人。错了轻拍。