Question

什么是数学

Answer 1

Answer 2

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学.分为初等数学和高等数学.它在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛,是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.
　　数学符号的引入
　　用一句话说,数学是无穷的科学.
　　2.数学的特点
　　严谨
　　数学语言亦对初学者而言感到困难.如何使这些字有着比日常用语更精确的意思.亦困恼着初学者,如开放和域等字在数学里有着特别的意思.数学术语亦包括如同胚及可积性等专有名词.但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性.数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”
　　严谨是数学证明中很重要且基本的一部分.数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去.这是为了避免错误的“定理”,依着不可靠的直观,而这情形在历史上曾出现过许多的例子.在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点,但在牛顿的时代,所使用的方法则较不严谨.牛顿为了解决问题所做的定义到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理.今日,数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度.当大量的计量难以被验证时,其证明亦很难说是有效地严谨.因为时代的差别、也抹去了不少知识、但是数学永不磨灭、永远流传智慧.
　　3.数学的应用
　　生活离不开数学,数学离不开生活,数学知识源于生活而高于生活,最终服务于生活.的确,学数学就是为了能在实际生活中应用.数学就是人们用来解决实际问题的,其实数学问题就产生与生活中.比如：上街买东西要用到加减乘除法,修建房屋用到做平面图等,这样的问题数不胜数,这些知识就是在生活中产生的.在数学教学中,我们要给学生实践活动的机会,引导学生自觉运用数学知识,用数学知识和方法分析与解决生活中的实际问题,使生活问题数学化,从而让学生更深刻地体会到数学的应用价值.
　　《课标》强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.其实小学数学的教学内容绝大多数可以联系学生的生活实际,老师要找准每节课的内容与学生生活实际的“切合点”,调动学生学习数学的兴趣和参与学习的积极性.在教学中老师的责任不仅是诱发学生解决现实问题的欲望,更应让学生学会从众多条件、众多信息中选出需要的条件、信息,来解决现实生活中的问题,体验应用数学解决实际问题的成功与快乐.
　　一、 解决生活中的问题 ,做到学以致用
　　新课程标准指出,要让学生“认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息.数学在现实世界中有着广泛的应用,面对实际问题时,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略……”.我们经常会遇到这种情况,一道题目讲了很久学生还弄不懂.如果老师将这道问题与生活实际联系起来,学生马上就能解决.因此作为教师应该思考,如何充分利用学生已有的生活经验,引导学生把数学知识运用到现实中去,以体会数学在生活中的应用价值.　
　　二、 创设生活情景,激发学习兴趣
　　应用题源于生活,每道应用题总可以在生活中找到它的蓝本.因此,我们在应用题教学中如果把应用题与生活实际结合起来,就可以激发学生的学习兴趣.　
　　三、 还原生活本质,培养学生思维
　　在注重数学生活化的同时,我们每一个教师一定要充分认识到数学教学的本质是发展学生的思维.生活化并不意味着数学知识的简单化,相反,还原数学以生活本质更有利于学生思维的发展.
　　我曾看到过这样的一个报道：一个教授问一群外国学生：“12点到1点之间,分针和时针重合几次?”那些学生都从手腕上摘下手表,开始拨表针；而这位教授给中国学生讲同一个问题时,学生们就会套用数学公式来进行计算.评论说,由此可见,中国学生的数学知识都是从书本上搬到脑子里的,不能灵活应用,很少想到在实际生活中学习、应用、掌握数学知识.
　　四、 实现生活需要,促进主体发展
　　从教育心理学来看,在生活中有五种不同层次的需要,最高需要便是自我实现的需要,一种决策的需要.我们在教学中一旦把应用题教学与生活联系起来,学生这种潜在的需要就更加强烈.
　　五. 数学的重要性
　　以名言为证：　　
　　万物皆数－－毕达哥拉斯
　　在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.——毕达哥拉斯
　　数学符号之美
　　数统治着宇宙.－－毕达哥拉斯
　　几何无王者之道.——欧几里德
　　我决心放弃那个仅仅是抽象的几何.这就是说,不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题.我这样做,是为了研究另一种几何,即目的在于解释自然现象的几何.——笛卡儿（Rene Descartes 1596-1650）
　　数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具,是一些现象的根源.数学是不变的,是客观存在的,上帝必以数学法则建造宇宙.——笛卡儿
　　虚数是奇妙的人类棈神寄托,它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物.——莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646-1716）
　　不发生作用的东西是不会存在的.——莱布尼茨
　　考虑了很少的那几样东西之后,整个的事情就归结为纯几何,这是物理和力学的一个目标.——莱布尼茨
　　虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.——欧拉（Leonhard Euler 1707-1783）
　　因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造,因此,如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则,那就根本不会发生任何事情.——欧拉
　　数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深. 数学是科学之王.——高斯
　　数学是自然科学之首,而数论是数学中的皇后.——高斯
　　这就是结构好的语言的好处,它简化的记法常常是深奥理论的源泉.——拉普拉斯(Pierre Simon Laplace 1749-1827)
　　在数学这门科学里,我们发现真理的主要工具是归纳和类比.——拉普拉斯
　　读读欧拉,读读欧拉,他是我们大家的老师.——拉普拉斯
　　一个国家只有数学蓬勃发展,才能表现她的国力强大.——拉普拉斯
　　认识一位巨人的研究方法,对於科学的进步并不比发现本身更少用处.科学研究的方法经常是极富兴趣的部分.——拉普拉斯
　　如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然,那会是一个严重的错误.——柯西（Augustin Louis Cauchy 1789-1857）
　　写满数学公式的纸
　　给我五个系数,我将画出一头大象；给我第六个系数,大象将会摇动尾巴.——柯西
　　人必须确信,如果他是在给科学添加许多新的术语而让读者接着研究那摆在他们面前的奇妙难尽的东西,已经使科学获得了巨大的进展.——柯西
　　几何看来有时候要领先于分析,但事实上,几何的先行于分析,只不过像一个仆人走在主人的前面一样,是为主人开路的.——西尔维斯特（James Joseph Sylvester 1814-1897）
　　也许我可以并非不适当地要求获得数学上亚当这一称号,因为我相信数学理性创造物由我命名（已经流行通用）比起同时代其他数学家加在一起还要多.——西尔维斯特
　　一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家.——魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass 1815-1897）
　　数学的本质在于它的自由.——康扥尔
　　数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.——康托尔
　　只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡. ——希尔伯特
　　音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切.——克莱因
　　没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性.---Carus,Paul
　　问题是数学的心脏——P.R.哈尔莫斯
　　哪里有数,哪里就有美!——普洛克拉斯
　　逻辑是不可战胜的,因为要反对逻辑还得要使用逻辑.——布特鲁
　　数学分系统自然界本身同样的广阔————傅立叶
　　逻辑可以等待,因为它是永恒————亥维赛
　　一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步. ——马克思
　　数学是无穷的科学.——赫尔曼·外尔
　　历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细.——培根
　　一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量.——拉奥
　　没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性.——卡罗斯
　　数学是规律和理论的裁判和主宰者.——本杰明
　　六.数学与文化
　　数学的文化价值 一、数学是哲学思考的重要基础　　数学在科学、文化中的地位,也使得它成为哲学思考的重要基础.历史上哲学领域内许多重要论争,常常牵涉到有关对数学的一些根本问题的认识.我们思考这些问题,有助于正确认识数学,正确理解哲学中有关的争论.　　(一)数学——-根源于实践　　数学的外在表现,或多或少人的智力活动相联系.因此在数学和实践的关系上,历来有人主张数学是“人的精神的自由创造”,否定数学来源于实践其实,数学的一切发展都不同程度地归结为实际的需要.从我国殷代的甲骨文中,就可以看到那时我们的祖先已经会使用十进制计数方法他们为适应农业的需要,将“十干”和“十二支”配成六十甲子,用以记年、月、日,几千年的历史说明这种日历的计算方法是有效的.同样,由于商业和债务的计算,古代的巴比伦人己经有了乘法表、倒数表,并积累了许多属于初等代数范畴的资料.在埃及,由于尼罗河泛滥后重新测量土地的需要,积累了大量计算面积的几何知识.后来随着社会生产的发展,特别是为适应农业耕种与航海需要而产生的天文测量,逐渐形成了初等数学,包括当今我们在中学里学习到的大部分数学知识.再后来由于蒸汽机等机械的发明而引起的工业革命,需要对运动特别是变速运动作更精细的研究,以及大量力学问题出现,促使微积分在长期的酝酿后应运而生.20世纪以来近代科学技术的飞速发展,使数学进入一个空前繁荣时期.在这个时期数学出现了许多新的分支：计算数学,信息论,控制论,分形几何等等.总之,实践的需要是数学发展的最根本的推动力.　　数学的抽象性往往被人所误解.有些人认为数学的公理、公设、定理仅仅是数学家头脑思维的产物.数学家靠一张纸、一支笔工作,和实际没有什么联系.　　其实,即使就最早以公理化体系面世的欧的几里德几何而言,实际事物的几何直观和实践中人们发展的现象,尽管不合乎数学家公理化体系的各式,却仍然包含着数学理论的核心.当数学家把建立几何的公理体系当作自己的目标时,他伯头脑中也一定联系到几何作图和直观现象.一个人,即使是很有天赋的数学家,能在数学的研究中获得具有科学价值的成果,除了他接受严格的数学思维训练以外,他在数学理论研究的过程中,必定会在问题的提出、方法的选择、结论的提示等诸多方面自觉或不自觉地受到实践的指引.可以这么说,脱离了实践,数学就会成为无源之水,无本之木.　　其实,即使就最早以公理化体系面世的欧几里德几何而言,实际事物的几何直观和实践中人们发现的现象,尽管不合乎数学家公理化体系的程式,却仍然包含着数学理论的核心.当数学家把建立几何的公理体系当作自己的目标时,他的头脑中也一定联系到几何作图和直观现象.一个人,即使是很有天赋的数学家,能在数学的研究中获得具有科学价值的成果,除了他接受过严格的数学思维训练以外,他在数学理论研究的过程中,必定会在问题的提出、方法的选择、结论的提示等诸多方面自觉或不自觉地受到实践的指引.可以这么说,脱离了实践,数学就会变成无源之水,无本之木.　　但是,数学理性思维的特点,使它不会满足于仅研究现实的数量关系和空间形式,它还努力探索一切可能的数量关系和空间形式.在古希腊时期,数学家就超越了在现实有限尺度精度内度量线段的方法,觉察到了无公度量线段的存在,即无理数的存在.这其实是数学中最困难的概念之一—连续性、无限性的问题.直到两千年以后,同样的问题导致极限理论的深入研究,大大地推动了数学的发展.试想今天如果还没有实数的概念,我们将面临怎样的处境.这时人们无法度量正方形对角线的长度,也不会解一元二次方程：至于极限理论与微积分学更不可能建立即使人们可以像牛顿那样应用微积分,但是在判断结论的真实性时会感到无所适从.在这种状况下,科学技术还能走多远呢?又如在欧几里德几何产生时,人们就对其中一个公设的独立性产生怀疑.到19世纪上半叶,数学家改变这个公设,得到了另一种可能的几何一一非欧几里德几何.这种几何的创立者表现了极大的勇气,因为这种几何得出的结论从“常理”来说是非常“荒唐”的.例如“三角形的面积不会超过某一个正数”.现实世界似乎没有这种几何的容身之地.但是过了近一百年,在物理学家爱因斯坦发现的相对论中,非欧几里德几何却是最合适的几何.再如,20世纪30年代哥德尔得到了数学结论不可判别性的结果,其中的某些概念非常抽象,近几十年却在算法语言的分析中找到了应用.实际上,许多数学在一些领域或一些问题中的应用,一旦实践推动了数学,数学本身就会不可避免地获得了一种动力,使之有可能超出直接应用的界限.而数学的这种发展,最终也会回到实践中去.　　总之,我们应该大力提倡研究和当前实际应用有直接联系的数学课题,特别是现实经济建设中的数学问题.但是我们也应该在纯粹科学和应用科学之间建立有机的联系,建立抽象的共性和丰富多彩的个性之间的平衡,以此来推动整个科学协调地发展.　　(二)数学—充满了辩证法由于数学严密性的特点,很少有人怀疑数学结论的正确性.相反,数学的结论往往成为真理的一种典范.例如人们常常用“像一加一等于二那么确定”来表示结论不容置疑.在我们的中小学的教学中,数学更是只准模仿、演练、背诵.数学真的是万古不变的绝对真理吗?　　事实上,数学结论的真理性是相对的即使像1+1=2这样简单的公式,也有它不成立的地方.例如在布尔代数中,1+1=0!而布尔代数在电子线路中有广泛的应用.欧几里德几何在我们的日常生活中总是正确的,但在研究天体某些问题或速度很快的粒子运动时非欧几何却是适宜的.数学其实是非常多样化的,它的研究范围也随着新问题的出现而不断扩大.如同一切科学一样,数学家们如果死守着前辈的思想、方法、结论不放,数学科学就不会进步.把数学的严密性和公理化体系看作一种“教条”是错误的,更不能像封建时代的文人对待孔夫子说的话：“真理”已经包含在圣人说过的话里,后人只能对其作诠释.数学发展的历史可以证明,正是数学家特别是年轻数学家的创新精神,敢于向守旧的思想挑战,数学的面貌才得以不断地更新,数学才成长为今天这样一门蓬勃发展、富有朝气的学科.　　数学的公理化体系从来也不是不容怀疑、不容变化的“绝对真理”欧几里德的几何体系是最早出现的数学公理化体系,但从一开始就有人怀疑其中的第五公设不是独立的,即该公设可以从公理体系的其他部分推出.两千多年来人们一直在寻找答案,终于在19世纪由此发现了非欧几何.虽然人们长时期受到欧几里德几何的束缚,但是最终人们还是接受了不同的几何公理体系.如果历史上某些数学家多一点敢于向旧体系挑战的革新精神,非欧几何也许还可能早几百年出现数学公理化体系反映了内部逻辑严密性的要求.在一个学科领域内,当有关的知识积累到一定程度后,理论就会要求把一堆看来散乱的结果以某种体系的形式表现出来.这就需要对己有的事实再认识、再审视、再思索,创造新概念、新方法,尽可能地使理论能包括最一般、最新发现的规律.这实在是一个艰苦的理论创新过程.数学公理化也一样,它表示数学理论已经发展到了一个成熟的阶段,但并不是认识一劳永逸的终结.现有的认识可能被今后更深刻的认识所代替,现有的公理也可能被今后更一般化、包含更多事实的公理体系所代替.数学就在不断地更新过程中得到发展.　　有种看法以为,应用数学就是把熟诵的数学结论套到实际问题上去,以为中小学的教学就是教给学生这些万古不变的教条.其实数学的应用极充满挑战性,一方面不但需要深切地认识实际问题本身,另一方面要求掌握相关数学知识的真谛,更重要的是要求能创造性地把两者结合起来.　　就数学的内容来说,数学充满了辩证法.在初等数学发展时期,占统治地位的是形而上学.在该时期的数学家或其他科学家看来,世界由僵硬的、不变的东西组成.与此相适应,那时数学研究的对象是常量,即不变的量.笛卡尔的变数是数学中的转折点,他把初等数学中完全不同的两个领域一一几何和代数结合起来,建立了解析几何这个框架具备了表现运动和变化的特性,辩证法因此进入了数学.在此后不久产生的微积分抛弃了把初等数学的结论作为永恒真理的观点,常常做出相反的判断,提出一些在初等数学的代表人物看来完全不可理解的命题.数学走到了这样一个领域,在那里即使很简单的关系,都采取了完全辩证的形式,迫使数学家们不自觉又不自愿地转变为辩证数学家.在数学研究的对象中,充满了矛盾的对立面：曲线和直线,无限和有限,微分和积分,偶然和必然,无穷大和无穷小,多项式和无穷级数,正因为如此,马克思主义经典作家在有关辩证法的论述中经常提到数学.我们学一点数学,一定会对体会辩证法有所帮助.

Answer 3

学渣的天敌