Question

求函数y=(根号下(1-x^2))/(2+x)的值域

Answer 1

这题主要考查求导数的知识。
因为1-x^2≥0,即x^2≤1
所以y的定义域为[-1,1]
y'=(-2x-1)/{[√(1-x^2)](2+x)^2}
（这个函数因较复杂，求导的时候应慢慢求，以免出错。）
令y'=0,得x=-1/2
当x∈[-1,-1/2]时，y'≥0，y单调递增；
当x∈[-1/2,1]时，y'≤0，y单调递减
所以y(-1/2)=(√3)/3为函数y的极大值，也为最大值
又因为y(1)=0,y(-1)=0
所以函数y的最小值为y(1)=y(-1)=0
所以函数y的值域为[0,(√3)/3]

Answer 2

解：
y=(根号下(1-x^2))/(2+x)，定义域：x∈【-1，1】
令x=sint,t∈【-π/2，π/2】
则，y=cost/(2+sint)，y'=-(2sint+1)/【(2+sint)^2】,y'=0时，t=-π/6
y'<0时，t∈(-π/6，π/2】单调递减
y'>0时，t∈【-π/2，-π/6)单调递增
y(-π/2)=y(-π/2)=0,y(-π/6)=√3/3
函数值域：y∈【0，√3/3】