Question

设F1 F2分别为椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左右两个焦点

设F1 F2分别为椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左右两个焦点
（1） 若椭圆C上的点A（1，3/2）到F1 F2两点距离之和为4 写出C的方程和焦点坐标
（2） 已知椭圆具有性质：若M N是椭圆C上关于原点对称的两个点 点P是椭圆上任意一点 当直线PM PN斜率都存在 并记为kpm kpn时 ,求证：kpm与kpn之积是与点P位置无关的定值

Answer 1

(1)根据椭圆的定义可知：2a=4,则a=2，将a=2和A（1，3/2）代入椭圆方程可求出b^2=3
则c^2=a^2-b^2=1 ,又因为椭圆的焦点x轴上，则焦点坐标为(-1,0)和(1,0)
椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1
(2)设M(x,y)，P(x1,y1)，因为N与M关于原点对称，则N(-x,-y)2
则kpm=(y1-y)/(x1-x) kpn=(y1+y)/(x1+x)
kpm与kpn之积=[(y1-y)/(x1-x)][(y1+y)/(x1+x)]
=(y1^2-y^2)/(x1^2-x^2)
因为M(x,y)，P(x1,y1)在椭圆上，将M(x,y)，P(x1,y1)代入椭圆方程
得：x^2/4+y^2/3=1和x1^2/4+y1^/3=1
两式相减可得y1^2-y^2=--(x1^2-x^2),再代入kpm与kpn之积 =(y1^2-y^2)/(x1^2-x^2)=-1
所以kpm与kpn之积是与点P位置无关的定值