Question

讨论齐次线性方程组何时有非零解

Answer 1

当系数行列式为0时，齐次线性方程组有非零解。

我们有两个已知条件:

1. 克拉默法则，如果齐次线性方程组系数行列式不为0，方程组有唯一解。

2. 齐次线性方程组必有一组解是零解。

根据以上两条，我们可以推断出以下结果：

如果系数行列式不为0，那么方程组有唯一解，又因为必有一组解是零解，所以方程组只有零解。

如果系数行列式为0，那么方程组有多个解，那么除了零解以外还有别的解，所以就存在非零解。

拓展资料

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。

法则总结

定理4.1  如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。

定理4.1’  如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理4.2  如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)没有非零解。

定理4.2’  如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。

参考资料来源：远程教育学院网—线性代数第四节克拉默法则

Answer 2

当m<n（行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

证明过程：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

举例：

扩展资料：

1、齐次线性方程，是指在一个线性代数方程中，其常数项（即不含有未知数的项）为零。

2、线性方程也称一次方程式。指未知数都是一次的方程。其一般的形式是ax+by+...+cz+d=0。线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。

参考资料：百度百科_齐次线性方程  百度百科_齐次线性方程组

Answer 3

系数矩阵如果是方阵,可以计算行列式 如果行列式等于0 说明有非零解,否则只有零解；
如果不是方阵,就要用系数矩阵的秩来判定 如果秩小于未知数的个数 那么一定有非零解,否则只有零解

Answer 4