Question

（12分）如图1，已知抛物线的顶点为A（2,1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B

在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
请大家写详细的证明过程，不要抄袭百度上已有的！

Answer 1

解：设抛物线方程 y=a(x-2)^2+1，把（0，0）代入抛物线得：a=-1/4。 再令抛物线y=0，求出另一个x值为4，所以B(4，0)。
假设存在一点N，N(X，Y) ，使△OBN与△OAB相似（注：Y<0），那么每个角的度数相等。；C为对称轴与X轴的交点。tan OAB=2tan OAC/（1-（tan OAC）^2）=(2*2)/(1-2*2)=-4/3。即：OAB为钝角。那么只有角OBN或者BON 与角OAB相等。因为对称的关系，OBN BON任意一个选一个跟OAB相等。我选的是OBN。如下：
角tan OBN=|Y|/(|4-X|)=tanOAB=-4/3。再把N点代入抛物线。并化简得：3X^2-18X+64=0。因为 18^2-4*3*64<0。所以该方程无解。所以不存在这样的N点。

Answer 2

存在 根据已知条件。易得出∠AOB=30° OA=2 △OAB为等腰三角形
当ON=OB时，可知N（-2，-3）根据抛物线的对称性：存在令外一点N（2，-3）
当OB为底时，不可能存在一个等腰三角形与△OAB相似
∴存在2点N

Answer 3

1） 设抛物线解析式为Y=a（X-K)+h 将顶点(2,1)带入得Y=a（X-2)+1 然后再把（0,0）带进去 得a=-0.25 所以答案是Y=-0.25(X-2)^2+1