Question

如图，已知点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE，求证：AE·AC=AD·AB

Answer 1

角AEB=ADE+DAE，因角DAE=BDC，则角AEB=ADE+BDC=ADC；
角BAC=EAD，则角BAC+CAE=DAE+CAE；即角BAE=CAD；
则三角形ABE∽ACD；
即AE:AB=AD:AC→AE*AC=AD+AB；

Answer 2

证明：
设AC与BD的交点为O
∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠COD
∴∠ABO=∠ACD
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△DAC
∴BE/CD=AE/AD
∴BE*AD=CD*AE

Answer 3

（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC．
∴∠EAB=∠DAC．
①又∵∠AEB=∠DAE+∠BDA=∠BDC+∠BDA，
∴∠AEB=∠ADC．
②∴由①和②得△AEB∽△ADC．
∴BEDC
=AE
AD
∴BE•AD=CD•AE．

（2）猜想：BC
DE
=AC
AD
或BC
DE
=AB
AE
．
证明：∵△AEB∽△ADC，
∴AB
AE
=AC
AD
．
∵∠BAC=∠DAE，
∴△BAC∽△EAD．
∴BC
ED
=AC
AD
=AB
AE
．