Question

已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上，焦距为2根号13，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴长比双

已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上，焦距为2根号13，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴长比双曲线的半长轴长多4，椭圆的离心率和双曲线的离心率的比为3/7，求椭圆和双曲线的方程

Answer 1

不妨设椭圆焦点在x轴上，即：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）
已知2c=2√13
则，c=√13
则，a^2=b^2+c^2=b^2+13
那么，椭圆离心率e=c/a=√13/(√b^2+13)………………………（1）
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以设双曲线方程为：x^2/m^2-y^2/n^2=1（m、n＞0）
同样，2c=2√13
则，c=√13
所以，m^2+n^2=c^2=13
那么，双曲线的离心率e=c/m=√13/(√13-n^2)……………………（2）
已知两者离心率之比为3/7
所以：[√13/√(b^2+13)]/[√13/√(13-n^2)]=3/7
===> √(13-n^2)/√(b^2+13)=3/7
===> (13-n^2)/(b^2+13)=9/49
已知，b=n+4
===> (13-n^2)/[(n+4)^2+13]=9/49
===> 49*(13-n^2)=9[(n+4)^2+13]
===> 637-49n^2=9(n^2+8n+29)
===> 58n^2+72n-376=0
===> 29n^2+36n-188=0
===> (29n+94)(n-2)=0
所以，n=2
那么，b=n+4=6
则在椭圆中，a^2=b^2+c^2=36+13=49
在双曲线中：m^2=c^2-n^2=13-4=9
所以，椭圆方程为：x^2/49+y^2/36=1，双曲线方程为：x^2/9-n^2/4=1
当然，它们的焦点也可以是在y在y轴上，此时：
椭圆方程为：y^2/49+x^2/36=1，双曲线方程为：y^2/9-x^2/4=1