Question

换元积分的方法计算下列定积分。第一题的第三小题

Answer 1

　　解：设x=sint，则dx=costdt，t∈[0,π/2]，
　　∴原式=∫(0,π/2)(sint)^4(cost)^2dt。
　　而(sint)^4(cost)^2=(1/4)(sin2t)^2(sint)^2=(1/16)(1-cos4t)(1-cos2t)=(1/16)[1-(1/2)cos2t-cos4t+(1/2)cos6t]，
　　∴原式=(1/16)[t-(1/4)sin2t-(1/4)sin4t+(1/12)sin6t]丨(t=0,π/2)=π/32。【如若对欧拉积分熟悉，直接设t=x^2,转换成B(5/2,3/2)/2=π/32，更简捷一些】供参考。