Question

∫（cosx）^4 dx 我知道可以降次用倍角公式化简，但是老师说可以通过两次分部积分再变换一下也

∫（cosx）^4 dx 我知道可以降次用倍角公式化简，但是老师说可以通过两次分部积分再变换一下也能求出，请问该怎么求？

Answer 1

　　解：用分部积分法，其过程可以是，
　　原式=∫(cosx)^3dsinx=sinx(cosx)^3+3∫(cosx)^2(sinx)^2dx，
　　而∫(cosx)^2(sinx)^2dx=∫(cosx)^2[1-(cosx)^2]dx=∫(cosx)^2dx-∫(cosx)^4dx=∫cosxd(sinx)-∫(cosx)^4dx=(1/2)x+(1/4)sin2x-∫(cosx)^4dx，
　　∴原式=(1/4)sinx(cosx)^3+(3/16)sin2x+3x/8+C。供参考。