Question

数学归纳法 不等式证明 放缩

(1+1/n)^n<1+1+1/2*1+1/3*2+.......+1/n*(n-1)<5/2 第一个不等关系是怎么弄出来的？
1楼，你那个和没说没什么区别，二楼我想知道这个式子是怎么放缩出来的？它把哪个数变了？

Answer 1

因为：C(k,n)/(n^k)=(n-k)!/[k!*n^k]<1/k!<1/k(k-1).（n>=3）
明显其中（n-k）！/n^k<1.其他略。
右边：1+1+1/2*1/3*2已经大于5/2了，改为3才好。因为1+1+1/2*1+1/3*2+.......+1/n*(n-1）=3-1/n.

Answer 2

①N=2时，不等式成立。1/4 < 1/2
②设N=k时，不等式成立。即
1/2^2+1/3^2+.......+1/k^2<(k-1)/k
N=k+1时，即证
1/2^2+1/3^2+.......+1/k^2+1/(k+1)^2<k/(k+1)
即证
(k-1)/k + 1/(k+1)^2 < k/(k+1)
通分化简得：
k<k+1,显然成立。
③综上所述，命题成立。

Answer 3

(1+1/n)^n=C(n,0)+C(n,1)/(n^1)........C(n,k)/(n^k)......C(n,n)/(n^n)<1+1+1/2*1+1/3*2+.......+1/n*(n-1)