Question

求证：映射f存在逆映射的充要条件是f是双射

Answer 1

设有两个集合A和B，f是从A到B的映射。

则有B中的任何元素y都可在B中找到其原象x。

必要性：若映射f存在逆映射，则有f^(-1)使得A中的任何元素x都可在B中找到其象元素y。

即知f是双射。

充分性：若f是双射，则有存在映射g使得

A中的任何元素x都可在B中找到其象元素y。

现在只需证明存在符合条件的g是f的逆映射即可证明充分性。

g（y）=x，又f（x）=y。可得

f[g(y)]=f（x）=y

g[f（x）]=g（y）=x

因此g=f^(-1)。即证充分性。

简介

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。

Answer 2

设有两个集合A和B，f是从A到B的映射。
则有B中的任何元素y都可在B中找到其原象x。
必要性：若映射f存在逆映射，则有f^(-1)使得
A中的任何元素x都可在B中找到其象元素y。
即知f是双射。
充分性：若f是双射，则有存在映射g使得
A中的任何元素x都可在B中找到其象元素y。
现在只需证明存在符合条件的g是f的逆映射即可证明充分性。
g（y）=x，又f（x）=y。可得
f[g(y)]=f（x）=y
g[f（x）]=g（y）=x
因此g=f^(-1)。即证充分性。