Question

已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.

已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数
(1)求k的值
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1=0的图像向下平移8个单位，求平移后的图像的解析式
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像y=1/2x+b（b小于k）与此图像有两个公共点时，b的取值范围

第(3)题请详解

Answer 1

解：(1)若关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，则△>=0。解之得k<=3。
又有 k为正整数，所以k=1,2或3。
（2）若此方程有两个非零的整数根时，将1,2,3分别代入，只有k=3时，方程有两个相等的非零的整数根x=-1,此时的函数解析式为y=2x^2+4x+2。
图像向下平移8个单位后即为y=2x^2+4x+2-8=2x^2+4x-6。
（3）依图像得，要图像y=1/2x+b（b小于k）与二次函数图像有两个公共点时，显然有两段。而因式分解得y=2x^2+4x-6=2（x-1）（x+3）
第一段，当y=1/2x+b过（1,0）时，有一个交点，此时b=-1/2。
当y=1/2x+b过（-3,0）时，有三个交点，此时b=3/2。而在此中间即为两个交点，此时-1/2<b<3/2。
第二段，将平移后的二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折后，开口向下的部分的函数解析式为y=-2（x-1）（x+3）。
显然，当y=1/2x+b与y=-2（x-1）（x+3）（-3<x<1)相切时，y=1/2x+b与这个二次函数图像有三个交点，若直线再向上移，则只有两个交点。
（以下如果你没学导数，那么这道题对你来说可能有点难度）
将二次函数求导得y'=-2(2x+2)，将y'=1/2解得x=-9/8，带入，求得y=255/32。
将x=-9/8，y=-255/32带入y=1/2x+b，得b=273/32>3(舍去）。
（因为第二段舍去了，你也可以这样做）
因为b<3，而y=1/2x+b（b小于k，k=3），所以当b=3时，将y=1/2x+3代入二次函数y=-2（x-1）（x+3）整理得，4x^2+9x-6=0,△>0，所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图象相交只有两个公共点。这种情况故舍去。
综上，-1/2<b<3/2

Answer 2

判别式△=b^2-4ac=16-4x2(k-1)≥0==>k≤3
所以条件为 k≤3

（2）
y+8=2x2+4x+k-1,即是y=2x2+4x+k-1-8=2x2+4x+k-9
（3）令y=2x2+4x+k-9=0 。其解x的小值x1=-1-（16-8*（k-9））^0.5/4，令y'=4x+4=1/2(斜率相同)，得x2=-7/8
将x1和分别带入1/2x+b=0，得出b的两个值（上下限）b1和b2，再结合条件b<k，即可得出b的取值范围：
①b∈（b1,b2） ②b<k
具体的b1和b2解你自己锻炼锻炼吧，我只能给你讲思路啦。

Answer 3

△》0 16-8(k-1)》0
k《3