Question

一到关于椭圆的数学题 急求

已知椭圆a2=4,b2=3,若直线l:y=kx+m(k不等于0)与椭圆交于不同两点M,N且线段MN的垂直平分线过G(1/8,0),求k的取值范围

Answer 1

联立椭圆方程x＾2/4+y＾2/3=1和直线方程y=kx+m，消去y,得
（3+4k＾2)x＾2+8kmx+4m＾2-12=0
由于直线和椭圆有两个不同的交点，故
∆=64k＾2m＾2-4(3+4k＾2)(4m＾2-12)>0,
化简得：m＾2<4k＾2+3
设M,N的坐标为（x1,y1) (x2,y2),则满足
x1+x2=-8km/（3+4k＾2),故y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m/（3+4k＾2)
从而线段MN的中点的坐标为（-4km/（3+4k＾2),3m/（3+4k＾2) ）
线段MN的垂直平分线的方程为
y-3m/（3+4k＾2)=-1/k[x+4km/（3+4k＾2)]
由题意知，该直线过G(1/8,0),代入得
km/（3+4k＾2)=-1/8
即m=-(4k＾2+3)/8k
又m＾2<4k＾2+3
得64k＾2>4k＾2+3,k＾2>1/20
解得k>√5/10或k<-√5/10

Answer 2

联立椭圆：x^2/4+y^2/3=1和直线l:y=kx+m
3x^2+4y^2=12
3x^2+4(kx+m)^2=12
(3+4k^2)x^2+8km+4m^2-12=0
△=(8km)^2-4(3+4k^2)(4m^2-12)
x1+x2=8km/(3+4k^2)
设线段MN的垂直平分线y=-（x-1/8）/k
((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)在线段MN的垂直平分线上
y1+y2=k(x1+x2)+2m
用等式算出k与m之间的关系，再代入不等式中，方法就这样，我没时间算了，你能自己算吗？
好像应该还有种用椭圆的第二定义的算法，你再研究研究