Question

如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a,b（a<b）。将纸片任意翻折（如图2）折痕PQ。（P在bc上），使点C落在APC

内一点C'，PC'的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A'，且A'M所在直线与PM直线重合（如图3）折痕为MN。
（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明。
（2）<QPC的 角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ,MN间的距离有何变化请说明理由
（3）若<QPC的角度在翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC'QD，及四边形BPA'N的周长与a,b的关系，为什么?

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Answer 1

解：（1）PN‖MN
因为四边形ABCD是矩形，所以AD‖BC，且M在AD直线上，则有AM‖BC
∴∠AMP=∠MPC，由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ= ∠MPC，∠NMP=∠AMN= ∠AMP
∴∠MPQ =∠NMP，故PQ‖MN。
（2）两折痕PQ，MN间的距离不变
过P作PH⊥MN，则PH=PM?sin∠PMH，
因为∠QPC的角度不变，所以∠C’PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的。
又因为AD‖BC，所以所有的PM都是相等的
又因为∠PMH=∠QPC，

故PH的长不变。
（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC’是正方形，四边形C’QDM是矩形。
因为C’Q=CD，C’Q+QD=a，所以矩形C’QDM的周长为2a。
同理可得矩形BPA’N的周长为2a，所以两个四边形的周长都为2a，与b无关。

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Answer 2

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