Question

在三角形ABC中，(2b-c)cosA-acosC=0,求A

Answer 1

∠A=60° 

我用的是几何方法，画出图。

作BD⊥AC，设AD=x

那么cosA=AD/AB=x/c

cosC=CD/CB=(b-x)/a

代入(2b-c)cosA-acosC=0

得(2b-c)x/c-(b-x)=0

化简得2x=c

∴cosA=1/2

∴∠A=60°

Answer 2

（1）在△ABC中，由射影定理可知，b=ccosA+acosC,
(2b-c)cosA-acosC=0
2bcosA=ccosA+acosC
2bcosA=b
cosA=1/2，0º<C<180º，
∴角A=60º；

（2）由（1）知，角A=60º，cosA=1/2，sinA=(√3)/2，
∵三角形ABC的面积=(1/2)bcsinA=(3√3)/4
∴bc=3；

由余弦定理得，
a²=b²+c²-2bccosA，
将a=√3，A=60º ，bc=3代入上式，
得b²+c²=6，
(b+c)²=b²+c²+2bc=12
b+c=2√3
由b+c=2√3 ，bc=3，得b=c=√3，
又a=√3，
∴△ABC是边长为√3的等边三角形.

Answer 3

(2b-c)cosA-acosC=0
由正弦定理b/sinB=a/sinA=c/sinC=2R
b=2RsinB
a=2RsinA
c=2RsinC
(2b-c)cosA-acosC=0
2R(2sinB－sinC)cosA－2RsinAcosC＝0
(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0
2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0
2sinBcosA－(sinCcosA＋sinAcosC)＝0
2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，
2sinBcosA－sin(180－B)＝0，
所以：2sinBcosA－sinB＝0，
因为：A、B∈(0，π)，sinB≠0
所以：cosA＝1/2,
所以：A=60度

Answer 4

在△ABC中，由射影定理可知，b=ccosA+acosC,
(2b-c)cosA-acosC=0
2bcosA=ccosA+acosC
2bcosA=b
cosA=1/2，0º<C<180º，
∴角A=60º；