Question

如图3,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上.

一条抛物线经过点A,顶点D是OC的中点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于点E,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC与点F,G,试比较线段OE与EG的大小.
(对不起图弄不上来)

Answer 1

(1)因为点D是顶点且在y轴上所以设函数表达式为y=ax²+c
点D是OC的中点,OC=2所以D(0,1)
将x=0,y=1代入上式
a=-1/4,c=1
所以y=-1/4x²+1
(2)设对角线OB的函数表达式为y=kx
因为B(2,2)
将 x=2,y=2代入上式
k=1所以y=x
根据y=x,y=-1/4x²+1因为点E在第一象限所以x=2倍根号2-2,y=2倍根号2-2
所以E(2倍根号-2.2倍根号2-2)
G(2倍根号-2,2)
因为OF=2倍根号2-2
EF=2倍根号2-2
所以OE=2OF=4-2倍根号2
EG=2EF=4-2倍根号2
所以OE=EG

Answer 2

解：由题意知A（2，0），C（0，2），D(0,1)设以D为顶点的抛物线的解析式为：y=ax²+1（a≠0）把A（2，0）代入得：0=4a+1解得：a=-0.25∴y=0.25x²+1(2)由题意知直线OB的解析式为：y=x解得：∴E（）∴OE==4-∵FG＝OC＝2EG=2－（）＝4-∴OE＝FG（3）设H（a，－0．25a²＋1）则OH＝0.25a²＋1∵OH＝OK∴OK＝0．25a²＋1，Ck＝－0．25a²＋1∴CK＝IH∵CJ＝IO，∠JCK＝∠OIH＝90º∴△CJK≌△IOH

Answer 3

（1）
设抛物线的方程为x=ay^2+by+c,(根据对称，抛物线过A点，则必过B点)，将A（2,0）、B（2,2）、D（0,1）三点坐标代入即可。结果为：x=2y^2-4y+2。
（2）
由OB两点可确定过OB两点的直线方程为y=x，与（1）中抛物线建立方程组，解出两组解（其中一组是B点坐标），另一组是E点坐标（0.5,0.5）。根据E点坐标可求出线段OE长度为“二分之根号二”，EG长度为1.5.，因此EG>OE。