Question

一条高中的函数题，很急，请帮帮忙

f(x)是定义域为R的奇函数，f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图像是形如y=x^2的图像（不是说导函数就是x^2，只是形状大概一样而已），若两正数a,b满足f(a+2b)<1,则(a+2)/(b+2)的取值范围是？

Answer 1

我的想法你试试
奇函数f(-4)=-1所以f(4)=1,f(0)=0又导函数f'(x)在R上形如y=x^2≥0，所以原函数在R上单调递增(可以参考函数y=x^3图像),且过原点，所以原函数值在(0,+∞)上大于0
f(a+2b)<1,又a,b均为正,所以 f(0)<f(a+2b)<f(4),所以0<a+2b<4
将Y=a+2b看为线性规划类题型,a>0,b>0,做出可行域
所求(a+2)/(b+2) 可以看为点(a,b)到(-2,-2)的斜率取值,可求得范围为(1/3,2)

Answer 2

取值范围是（1/2,3）。
解：
f(4)=-f(-4)=1.
由于f'>=0,故f单增。于是f(a+2b)<1当且仅当a+2b<4. 又a,b>0，于是0<b<2，1/4<1/(b+2)<1/2
故 (a+2)/(b+2)=(6-2b)/(b+2)=10/(b+2)-2的取值范围是（1/2,3）