Question

已知圆X^2+Y^2+X-6Y+M=0和直线X+2Y-3=0交于P。Q两点，且向量OP·OQ=0（O为坐标原点，求该圆的圆心坐标和半

谢谢大家啦~

Answer 1

设P（x1,y1）Q（x2,y2）向量OP·OQ=0，所以x1x2+y1y2=0，因为X^2+Y^2+X-6Y+M=0且X+2Y-3=0，所以两方程连列，消去x得5y^2-20y+12+M=0，所以y1y2=(12+M)/5，y1+y2=4
x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=9-6y1-6y2+4y1y2=9-6(y1+y2)+4y1y2=9-24+4(12+M)/5=4(12+M)/5-15
x1x2+y1y2=4(12+M)/5-15+(12+M)/5=0，所以M=3，X^2+Y^2+X-6Y+3=(X+1/2)^2+(Y-3)^2=25/4
所以圆心坐标（-1/2，3），R=5/2

Answer 2

圆：x^2+y^2+x-6y+m=0,
(x+1/2)^2+(y-3)^2=37/4-m.
∵OP垂直OQ,
△PCQ是等腰直角三角形,
直线到圆心的距离等于√2/2倍半径长.
│-1/2+2×3-3│/√5=√2/2·√(37/4-m).
解得m=27/4.
圆心(-1/2,3),半径√10/2.