Question

如何证明函数的有界性？

Answer 1

如下参考：

在判别函数的有界性时，我们需要先知道以下两个重要结论，即：

如果f（x）在闭区间［a，b］上连续，那么f（x）在闭区间［a，b］上有界。

如果f（x）在开区间（a，b）上连续且函数的极限存在于其端点处，则f（x）在开区间（a，b）上有界。

遇到类似的问题，首先需要定义函数的定义域，确定函数不能取哪些点，其实本课题就是根据定义域来划分自变量的取值范围。

其次，在不能取的点上，我们需要计算极限来判断函数是否有界。如果函数在相应趋势点处的极限是一个确定的值，则表明函数是有界的。如果它是无限的，它就是无界的。注意，在计算极限时，如果左极限和右极限不相同，则需要分别计算左极限和右极限。

注意事项：

一般来说，连续函数在闭区间上有界。例如，y＝x＋6在［1，2］上的最小值是7，最大值是8，所以它的函数值在7和8之间有界，所以它是有界的。但正切函数在有意义的区间内是无界的，比如（－PI／2，PI／2）

sin（x）cos（x）sin（1／x）cos（1／x）arcsin（x）arccos（x）arctan（x）arccotx是常见的有界函数。

性质：无穷小与有界函数的乘积是无穷小。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示