Question

一道全国初中数学联赛题（求最详细解答）

已知a是正整数，如果关于x的方程x^3+（a+17）x^2+（38--a）x--56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根
（希望能有具体的过程，谢谢各位啦！！）

Answer 1

设方程x^3+（a+17）x^2+（38--a）x--56=（x+m）(x+n)(x+p)=x^3+(m+n+p)x^2+
(mn+mp+np)x+mnp（其中m、n、p都是整数）,
两边对比系数得：m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,mnp=-56
因为-56=-1*2*28=-1*4*14=-1*7*8=-2*2*14=-2*4*7=-1*（-2）*（-28）=-1*（-4）*（-14）=
-1*（-7）*（-8）=-2*（-2）*（-14）=-2*（-4）*（-7）且mnp=-56
所以可以令：
1.m=-1,n=2,p=28,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，解得a=12
所以方程的整数跟为1，-2，-28
2.m=-1,n=4,p=14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，解得a=0
所以方程的整数跟为1，-4，-14
3.m=-1,n=7,p=8,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，解得a=-3
所以方程的整数跟为1，-7，-8
4.m=-2,n=2,p=14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，此时a无解
5.m=-2,n=4,p=7,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，此时a无解
6.m=-1,n=-2,p=-28,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，此时a无解
7.m=-1,n=-4,p=-14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，解得a=-36
所以方程的整数跟为1，4，14
8.m=-1,n=-7,p=-8,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，解得a=-33
所以方程的整数跟为1，7，8
9.m=-2,n=-2,p=-14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，此时a无解
10.m=-2,n=-4,p=-7,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a，此时a无解

Answer 2

由x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0，
当x³和x的系数和等于x²和常数和相等时方程一定有整数根：
∴1+（38-a）=（a+17）-56，
a=39，
即x³+56x²-x-56=0，
x²（x+56）-（x+56）=0,
(x+56)(x²-1)=0
(x+56)(x+1)(x-1）=0，
∴x1=-56，x2=-1，x3=1.

Answer 3

整理，得a=-(x+18+56/x), x<0, x=-1时，a=39, x=-2时，a=12。
所以，当a=39时，方程的整数根分别为-1,1，56；
当a=12时，方程的整数根分别为-28，-2,1。
祝你成功！

Answer 4

楼上答案还不是完整的， m=-1，n=1，p=56,a=39
可能还有答案遗漏，方法就是这样，楼上列举不完整，这种题目没意思，除非你去参加竞赛。