Question

3．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长和侧棱长均为1，BAD=BAA1=DAA1=60ɨ

要过程，详细一点，最好有点讲解，我很急，很想明白！
3．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长和侧棱长均为1，角BAD=角BAA1=角DAA1=60度，O1为A1C1中点．
(1)求证：AO1//平面C1BD；
(2)求证：BD⊥A1C；
(3)求四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积

Answer 1

1、连结对角线AC和BD，相交于O，连结C1O，BC1、DC1，

∵AA1//CC1，AA1=CC1，

∴四边形AA1CC1是平行四边形，

∴A1C1//AC，

A1C1=AC，

A1C1/2=AC/2，

O1C1=AO，

O1C1//AO，

∴四边形O1C1OA是平行四边形，

∴O1A//C1O，

∵C1O∈平面BDC1，

∴AO1//平面C1BD。

2、∵AB=BC=CD=AD=1，

∴四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，

作AH⊥平面ABCD，垂足H，作HM⊥AB，HN⊥AD，垂足分别为M、N，连结A1M、A1N，

∵〈A1AM=〈A1AN=60度，

AA1=AA1（公用边），

根据三垂线定理

〈AMA1=〈ANA1=90度，

∴△AA1M≌△AA1N，

AM=AN，

∵AH=AH，

∴RT△AHM≌RT△AHN，

〈HAM=〈HAN，

∴H在对角线AC上，

∵AH是AA1在平面ABCD上的射影，根据三垂线定理，

∴BD⊥AA1，

∵AA1∩AC=A，

∴BD⊥平面ACA1，

∵A1C∈平面ACA1，

∴BD⊥A1C。

3、由前所述，在△A1AM中，〈A1AM=60度，

AM=AA1/2=1/2，〈HAM=30度，AM/AH=cos30°，

AH=√3/3，

根据勾股定理，

A1H=√（AA1^2-AH^2)=√6/3,

△ABD是正三角形，

S△ABD=√3*AB^2/4=√3/4,

S平行四边形ABCD=2S△ABD=√3/2，

∴V棱柱ABCD-A1B1C1D1=（S平行四边形ABCD）*A1H

=（√3/2）*√6/3=√2/2。

Answer 2

(1)连结AC，与BD交与E，连O1E，CE，C1E
显然四边形ABCD、A1B1C1D1都是菱形，对角线相互垂直且平分
因此E、O1分别是BD、B1D1的中点
由于在四棱柱中AA1//BB1//DD1//CC1且AA1=BB1=DD1=CC1
则四边形AA1C1C是平行四边形
故AC//=A1C1
所以AE//O1C1且AE=O1C1
因此四边形AEC1O1 是平行四边形
即得AO1//EC1
所以AO1//平面C1BD
（2）由于角BAA1=角DAA1
故有点A1在平面ABCD上的射影在角BAD的平分线上（定理）
设点A1在平面ABCD上的射影为H
则H必在AC上（菱形的对角线垂直且平分对角）
由于CH⊥BD
故有BD⊥A1C（三垂线定理）；
（3）过H作HF⊥AB于F，连A1F，
显然A1F⊥AB，
在直角三角形AA1F中，A1F=AA1sin60°=√3/2，AF=1/2
在直角三角形AHF中，AH=AFcos30°=√3/4，HF=1/4
在直角三角形A1HF中，A1H=√(A1F)^2-(HF)^2=√11/4
底面ABCD面积S=AB*ADsin60°=√3/2
所以四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为
V=S*A1H=√33/8