Question

复合函数求导题

Answer 1

我建议将偏导数定义,和全微分概念搞透,其它就迎刃而解,偏导数就是对函数的某一变量求导而将其它变量看作常量,全微分是对所有变量微分.因此本题复合函数求导就容易理解了
,对φ(x)=f(x,f(x,x))全微分 :
∵dφ(x)=df(x,f(x,x))=f1'×dx+f2'×df(x,x)
df(x,x)=f1'×dx+f2'×dx
∴dφ(x)=f1'×dx+f2'×(f1'×dx+f2'×dx)
左右二边除以dx ,可得: φ'(x)=dφ(x)/dx=f1'+f2'×(f1'+f2')
因此所谓复合函数求导,通过以上全微分求导就容易理解了.这才原汁原味!
为什么不看书,
∵⊿φ(x)=φ(x+⊿x)-φ(x),
⊿f(x,f(x,x))= f(x+⊿x,f(x+⊿x,x+⊿x))-f(x,f(x,x))
f1'=∂f(x,y)/∂x 这里y为常量令y=c,即求导过程中不变,
只要记住属于第几变量即可.同理 f2' 就是对第二个变量求偏导数
至于这个变量用什么符合尽可不管.
f(x,y)某 单一变量的增量:
⊿f(x,y)=f(x+⊿x,y)-f(x,y) , (y不变),
⊿f(x,y+⊿y)=f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y+⊿y) , ( y+⊿y 保持不变)
前者在(x,y)点对x变量求偏导数,后者在(x,y+⊿y)点对x变量求偏导数,
当⊿x→0时 ∂f(x,y)/∂x=⊿f(x,y)/⊿x
∂f(x,y+⊿y)/∂x=⊿f(x,y+⊿y)/⊿x
当⊿x →0,⊿y→0时∂f(x,y)/∂x=∂f(x,y+⊿y)/∂x= f1'
注意:
∂f(x,y)/∂x ≠ ∂f(x,y+⊿y)/∂x (y≠y+⊿y, 只有⊿y→0,y+⊿y→y,才成立.

这表示从(x+⊿x,y)点 沿 y为常量,平行x轴方向趋近(x,y)点
(x+⊿x,y+⊿y)点,沿以 y+⊿y为常量,平行x轴方向趋近(x,y+⊿y)点.
当⊿x→0, 同时⊿y→0时(x+⊿x,y+⊿y)点可正交分解为沿平行x,y轴趋近(x,y)点
∴⊿f=f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y)
= f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y+⊿y) +f(x,y+⊿y)-f(x,y)
=×⊿x+/⊿y
= f1'⊿x +f2'⊿y ( ⊿x →0,⊿y→0,f1' ,f2' 对应(x,y)点取偏导)

因此 全微分概念这才能帮助理解透彻!