Question

a^3+b^3+c^3>=1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)怎么证明

Answer 1

方法一:
设a>=b>=c.然后用Chebyshev不等式.

方法二:
欲证原式,即需证
3(a^3+b^3+c^3)>=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
即3(a^3+b^3+c^3)>=a^3+b^3+c^3+(b+c)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2
即2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2 ..(*) ......(这里也可以用排序原理证明)
现在先构造一个不等式
很显然
(a+b)(a-b)^2>=0恒成立
即
a^3-ab^2-ba^2+b^3>=0
即
a^3+b^3>=ab^2+ba^2 ............(1)
同理
(a+c)(a-c)^2>=0
(c+b)(c-b)^2>=0
即
a^3+c^3>=ac^2+ca^2 .............(2)
c^3+b^3>=cb^2+bc^2 .............(3)

(1)+(2)+(3)得知(*)成立
即原不等式成立

Answer 2

a^3+b^3+c^3-3abc
=[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc
=[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

二个公式：
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2