Question

求1/(1+t^4)的不定积分

请高手写下详细过程.

Answer 1

计算过程如下：

令tanx=t，则x=arctant

dx=dt/(1+t^2)

cos^2x=1/(1+t^2)

sin^2x=1-cos^2t=t^2/(1+t^2)

原式=∫dx/[1+sin²(2x)]

=∫dx/(1+4sin²xcos²x)

=∫[dt/(1+t^2)]/[(1+4t^2/(1+t^2)^2]

=∫(1+t^2)/(t^4+6t^2+1)dt

=∫(1+t^2)/dt

=[(√2+1)/（2√2)]∫dt/[t^2+（√2+1)^2]+[(√2-1)/（2√2)]∫dt/[t^2+（√2-1)^2]

=(√2/4)

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

原式=∫[t^(-2)]/[t^(-2)+t^2]dt=∫[t^(-2)+1-1]/[t^2+t^(-2)]dt
（下面的凑微分法比较巧妙，请楼主注意观察，而且下面要多次用到！）
=∫1/[(t-t^(-1))^2+2]d(t-t^(-1))-∫t^2/(1+t^4)dt………①
（显然左边为常用公式。）
而∫t^2/(1+t^4)dt
=(1/2)∫(t^2+1+t^2-1)/(1+t^4)dt
=(1/2)∫(1+t^(-2))/(t^2+t^(-2))dt+(1/2)∫(t^2-1)/(t^2+t^(-2))dt
=(1/2)∫1/[(t-t^(-1))^2+2]d(t-t^(-1))+(1/2)∫1/[(t+t^(-1))^2-2]d(t+t^(-1))………②
将②式代回①式中，可得
原式=(1/2)∫1/[(t-t^(-1))^2+2]d(t-t^(-1))-(1/2)∫1/[(t+t^(-1))^2-2]d(t+t^(-1))
=[(√2)/4]arctan[(t-t^(-1))/√2]-[(√2)/4]ln|(t+t^(-1)-√2)/(t+t^(-1)+√2)|+C
（这是在深夜打的，可能有错漏，望楼主见谅。）