Question

高手求救,一道求定积分的题目....

Answer 1

等式两端同时求导，左端为求导，书上都有公式，在推导微积分基本定理那节。

∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 -->
f(x) = f(x)+xf'(x)+ 2x -->
f'(x) = -2
f(x)= -2x + C , f(1)= -1 -->
C=1
f(x) = 1-2x

【将 x=1 带入：∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 即可得：f(1)=-1；
本题条件：f(1)=-1 多余，本题也用不到方程】

Answer 2

∫e^(2t)costdt=∫e^(2t)dsin(t)=e^(2t)sin(t)-∫sintd[e^(2t)]=e^(2t)sin(t)+2∫e^(2t)dcost
=e^(2t)sin(t)+2[e^(2t)cost-∫costd[e^(2t)]=e^(2t)sin(t)+2e^(2t)cost-4∫e^(2t)costdt
∫e^(2t)costdt=1/5[e^(2t)sin(t)+2e^(2t)cost]
t∈[0,π/2]
∫e^(2t)costdt=1/5[e^(2t)sin(t)+2e^(2t)cost]=e^π/5 - 2/5

Answer 3

这个积分本身算不出原函数，但是我教你一招，反复地用分部积分法，直到等式右边再次出现和原来一样的积分，然后把它挪到等式左边，再除个系数就出来了