Question

求1/(1+t^4)的不定积分.

Answer 1

此题可以做，刚做过。
原式=∫[t^(-2)]/[t^(-2)+t^2]dt
=∫[t^(-2)+1-1]/[t^2+t^(-2)]dt
（下面的凑微分法比较巧妙，请楼主注意观察，而且下面要多次用到！）
=∫1/[(t-t^(-1))^2+2]d(t-t^(-1))-∫t^2/(1+t^4)dt………①
（显然左边为常用公式。）
而∫t^2/(1+t^4)dt
=(1/2)∫(t^2+1+t^2-1)/(1+t^4)dt
=(1/2)∫(1+t^(-2))/(t^2+t^(-2))dt+(1/2)∫(t^2-1)/(t^2+t^(-2))dt
=(1/2)∫1/[(t-t^(-1))^2+2]d(t-t^(-1))+(1/2)∫1/[(t+t^(-1))^2-2]d(t+t^(-1))………②
将②式代回①式中，可得
原式=(1/2)∫1/[(t-t^(-1))^2+2]d(t-t^(-1))-(1/2)∫1/[(t+t^(-1))^2-2]d(t+t^(-1))
=[(√2)/4]arctan[(t-t^(-1))/√2]-[(√2)/4]ln|(t+t^(-1)-√2)/(t+t^(-1)+√2)|+C

（这是深夜打的，可能有错漏，望楼主见谅。）

Answer 2

令tanx=t,则x=arctant,dx=dt/(1+t^2),cos^2x=1/(1+t^2),sin^2x=1-cos^2t=t^2/(1+t^2)
∫dx/
=∫dx/[1+sin²(2x)]
=∫dx/(1+4sin²xcos²x)
=∫[dt/(1+t^2)]/[(1+4t^2/(1+t^2)^2]
=∫(1+t^2)/(t^4+6t^2+1)dt
=∫(1+t^2)/dt
=[(√2+1)/（2√2)]∫dt/[t^2+（√2+1)^2]+[(√2-1)/（2√2)]∫dt/[t^2+（√2-1)^2]
=(√2/4)
=(√2/4)

Answer 3

把分母配方，再把整个被积函数化成部分分式和的形式就可以了，不用会做这道题，因为一般的考试都不会考这么没有意义的东西