Question

x>0,y>0,x+2y=1,求xy/(2x+y)的最大值

x>0,y>0,x+2y=1,求xy/(2x+y)的最大值

Answer 1

解：∵x＋2y＝1
∴y＝（1－x）／2
将y＝（1－x）／2代入xy／（2x＋y）中得，xy／（2x＋y）＝（x－x^2）／（3x＋1）
设xy／（2x＋y）＝t
∴t＇＝（－3x^2-2x＋1）／（3x＋1）^2＝（x＋1）（1－3x）／（3x＋1）^2
令t＇＝0，则x1＝－1，x2＝1／3
当x＞1／3时，t＇＜0，则t是减函数；
当0＜x＜1／3时，t＇＞0，则t是增函数
∴当x＝1／3，t有最大值
∴x＝1／3，y＝1／3时，xy／（2x＋y）的最大值＝1／9

Answer 2

这是一个利用函数和基本不等式求最值的典型案例。

供参考，请笑纳。

这个解法适合高一学生。