Question

求高数不定积分两道计算题…最好能写下过程

Answer 1

（4）∫xe^x/(1+e^x)^2dx
= -∫xd[1/(1+e^x)]
= -x/(1+e^x)+∫[1/(1+e^x)]dx
= -x/(1+e^x)+∫[(1+e^x-e^x)/(1+e^x)]dx
= -x/(1+e^x)+∫1dx-∫(1/(1+e^x))d(1+e^x)
=-x/(1+e^x)+x-ln(1+e^x)+C

（5）∫xe^x/√(e^x-1)dx

设t = √( e^x-1)，
e^x=t^2+1,
x = ln(t² +1)，
dx = 2t/(t² - 1) dt
∫ xe^x/√( e^x-1) dx
= ∫ [ln(t² +1) * (t² +1)/t] * 2t/(t² +1) dt
= 2∫ ln(t² +1) dt = 2t ln(t² +1) - 2∫ t d[ln(t² + 1)]
= 2t ln(t² +1) - 2∫ t * 2t/(t² +1) dt
= 2t ln(t² +1) - 4∫ [(t² + 1) -1]/(t² + 1) dt
=2t ln(t² +1) - 4∫ [(t² + 1) -1]/(t² + 1) dt
= 2t ln(t² +1) - 4∫[ 1-1/(t² +1)] dt
= 2t ln(t² +1) - 4t +4arctant+C
= 2x√(e^x-1) - 4√( e^x-1) + 4arctan√(e^x-1) + C

Answer 2