Question

怎么证明？

Answer 1

∵cosA=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=2sinBsinC>0
∴cosBcosC+sinBsinC=0即cos(B-C)=0或cos(C-B)=0
∴B-C=π/2或C-B=π/2
∴B=π/2 +C或C=π/2+B
∴B或C为钝角且A为锐角
故原命题为真命题，①错误。
逆命题为：若△ABC为钝角三角形，则cosA=2sinBsinC。由前面可知在cosA=2sinBsinC时可以确定A未锐角，B或C为钝角，但是现在逆命题△为钝角三角形，显然A、B、C中任意一角都可能为钝角，也就是无法得出cosA=2sinBsinC，所以逆命题为假命题，故②正确。
否命题为：若cosA≠2sinBsinC，则△ABC不为钝角三角形。同样如前面过程可知，在cosA≠2sinBsinC时只是不能确定B或C不为钝角，但是A可以为钝角。A为钝角时cosA≠2sinBsinC也成立，所以否命题为假命题，故③正确。
逆否命题为：若△ABC不为钝角三角形，则cosA≠2sinBsinC。△ABC不为钝角三角形，则△可能为锐角或直角三角形。当三角形为直角三角形时，假若A为直角，B和C均为锐角，则cosA=0，sinBsinC>0，假若B为直角，则sinB=1，cosA=sinC，显然cosA≠2sinBsinC；当三角形为锐角三角形时，2sinBsinC=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)+cosA，因为A、B、C均为锐角，∴cos(B-C)>0，所以2sinBsinC>cosA，故④正确。

综上故原命题为真命题，因此①错误；逆命题为假命题，因此②正确；否命题为假命题，故③正确；逆否命题为真命题，故④正确。所以正确的为②③④，正确的个数为3个选C