Question

高中数学，数列问题！高分！

数列an ＝(n+1)｛3^（n+1)｝前n 项和是多少

Answer 1

an=3^(n+1)+n*3^(n+1)分成两部分，令an=bn+cn,则bn为等比数列，cn为等差数列与等比数列的积
bn得前n项和为：Sn=9(1-3^n)/(1-3)=9(3^n-1)/2
cn得前n项和为：Tn=1*3^2+2*3^3+......+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
3Tn=1*3^3+2*3^4+......+(n-i)*3^(n+1)+n*3^(n+2)
又上式减下式得(错位相减)：
-2Tn=1*3^2+3^3+3^4+..........+3^(n+1)-n*3^(n+2)
=9(1-3^n)/(1-3)-n*3^(n+2)
所以：Tn=-9(3^n-1)/4+n*3^(n+2)/2=[(2n-1)*3^(n+2)+9]/4
所以an的前n项和为S=Sn+Tn=[(2n+1)*3^(n+2)-9]/4

Answer 2

Sn=3 + 2*3^2+3*3^3+4*3^4+……+ 3^n
3Sn=*3^2+2*3^3+3*3^4+……+ n｛3^（n+1)｝
错位相减得: -2Sn = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^n - n*3^(n+1)
这是一个等比式子求和后减去n*3^(n+1),再除以-2就可以了

Answer 3

an=(n+1)*3^(n+1)=n*3^(n+1)+3^(n+1)
设bn=n*3^(n+1)
和Bn=1*3^2+2*3^3+...+n*3^(n+1)
3Bn=1*3^3+2*3^4+...+n*3^(n+2)
Bn-3Bn=1*3^2+1*3^3+1*3^4+...+1*3^(n+1)-n*3^(n+2)=3^2*(1-3^n)/(1-3)-n*3^(n+2)=9/2*(3^n-1)-n*3^n*9=(9/2-9n)*3^n-9/2
故Bn=[(9/2-9n)3^n-9/2]/(-2)=9/4-(9/4-9n/2)*3^n]
设cn=3^(n+1)=3*3^n
和Cn=3*3(1-3^n)/(1-3)=9/2(3^n-1)=9/2*3^n-9/2
原式的和Sn=Bn+Cn=9/4-(9/4-9n/2)*3^n+9/2*3^n-9/2=-9/4-(-9/4-9n/2)*3^n

Answer 4

Sn=2*3^2+3*3^3+4*3^4+……+(n+1)｛3^（n+1)｝
3Sn= 2*3^3+3*3^4+4*3^5+……+(n+1)｛3^（n+2)｝ 相减
-2Sn=2*3^2+[3^3+3^4+3^5+……+3^n+1]-(n+1)｛3^（n+2)｝
=3^2+[3^2+3^3+3^4+3^5……+3^n+1]-(n+1)｛3^（n+2)｝
=3^2+9(1-3^n)/(1-3)-(n+1)｛3^（n+2)｝
Sn=-9/2+9(1-3^n)/4+(n+1)｛3^（n+2)｝/2

Answer 5

错位相减法